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Theorem cdlemg4

Description: TODO: FIX COMMENT. (Contributed by NM, 25-Apr-2013)

Ref Expression
Hypotheses cdlemg4.l 
|- .<_ = ( le ` K )
cdlemg4.a 
|- A = ( Atoms ` K )
cdlemg4.h 
|- H = ( LHyp ` K )
cdlemg4.t 
|- T = ( ( LTrn ` K ) ` W )
cdlemg4.r 
|- R = ( ( trL ` K ) ` W )
cdlemg4.j 
|- .\/ = ( join ` K )
cdlemg4b.v 
|- V = ( R ` G )
Assertion cdlemg4 
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ F e. T ) /\ ( G e. T /\ -. Q .<_ ( P .\/ V ) /\ ( F ` ( G ` P ) ) = P ) ) -> ( F ` ( G ` Q ) ) = Q )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 cdlemg4.l 
 |-  .<_ = ( le ` K )
2 cdlemg4.a 
 |-  A = ( Atoms ` K )
3 cdlemg4.h 
 |-  H = ( LHyp ` K )
4 cdlemg4.t 
 |-  T = ( ( LTrn ` K ) ` W )
5 cdlemg4.r 
 |-  R = ( ( trL ` K ) ` W )
6 cdlemg4.j 
 |-  .\/ = ( join ` K )
7 cdlemg4b.v 
 |-  V = ( R ` G )
8 eqid 
 |-  ( meet ` K ) = ( meet ` K )
9 1 2 3 4 5 6 7 8 cdlemg4g 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ F e. T ) /\ ( G e. T /\ -. Q .<_ ( P .\/ V ) /\ ( F ` ( G ` P ) ) = P ) ) -> ( F ` ( G ` Q ) ) = ( ( Q .\/ V ) ( meet ` K ) ( P .\/ Q ) ) )
10 simp1l 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ F e. T ) /\ ( G e. T /\ -. Q .<_ ( P .\/ V ) /\ ( F ` ( G ` P ) ) = P ) ) -> K e. HL )
11 simp21l 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ F e. T ) /\ ( G e. T /\ -. Q .<_ ( P .\/ V ) /\ ( F ` ( G ` P ) ) = P ) ) -> P e. A )
12 simp22l 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ F e. T ) /\ ( G e. T /\ -. Q .<_ ( P .\/ V ) /\ ( F ` ( G ` P ) ) = P ) ) -> Q e. A )
13 6 2 hlatjcom 
 |-  ( ( K e. HL /\ P e. A /\ Q e. A ) -> ( P .\/ Q ) = ( Q .\/ P ) )
14 10 11 12 13 syl3anc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ F e. T ) /\ ( G e. T /\ -. Q .<_ ( P .\/ V ) /\ ( F ` ( G ` P ) ) = P ) ) -> ( P .\/ Q ) = ( Q .\/ P ) )
15 14 oveq2d 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ F e. T ) /\ ( G e. T /\ -. Q .<_ ( P .\/ V ) /\ ( F ` ( G ` P ) ) = P ) ) -> ( ( Q .\/ V ) ( meet ` K ) ( P .\/ Q ) ) = ( ( Q .\/ V ) ( meet ` K ) ( Q .\/ P ) ) )
16 simp1 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ F e. T ) /\ ( G e. T /\ -. Q .<_ ( P .\/ V ) /\ ( F ` ( G ` P ) ) = P ) ) -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
17 simp31 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ F e. T ) /\ ( G e. T /\ -. Q .<_ ( P .\/ V ) /\ ( F ` ( G ` P ) ) = P ) ) -> G e. T )
18 eqid 
 |-  ( Base ` K ) = ( Base ` K )
19 18 3 4 5 trlcl 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ G e. T ) -> ( R ` G ) e. ( Base ` K ) )
20 16 17 19 syl2anc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ F e. T ) /\ ( G e. T /\ -. Q .<_ ( P .\/ V ) /\ ( F ` ( G ` P ) ) = P ) ) -> ( R ` G ) e. ( Base ` K ) )
21 7 20 eqeltrid 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ F e. T ) /\ ( G e. T /\ -. Q .<_ ( P .\/ V ) /\ ( F ` ( G ` P ) ) = P ) ) -> V e. ( Base ` K ) )
22 simp32 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ F e. T ) /\ ( G e. T /\ -. Q .<_ ( P .\/ V ) /\ ( F ` ( G ` P ) ) = P ) ) -> -. Q .<_ ( P .\/ V ) )
23 simp21r 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ F e. T ) /\ ( G e. T /\ -. Q .<_ ( P .\/ V ) /\ ( F ` ( G ` P ) ) = P ) ) -> -. P .<_ W )
24 simp21 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ F e. T ) /\ ( G e. T /\ -. Q .<_ ( P .\/ V ) /\ ( F ` ( G ` P ) ) = P ) ) -> ( P e. A /\ -. P .<_ W ) )
25 1 6 8 2 3 4 5 trlval2 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ G e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> ( R ` G ) = ( ( P .\/ ( G ` P ) ) ( meet ` K ) W ) )
26 16 17 24 25 syl3anc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ F e. T ) /\ ( G e. T /\ -. Q .<_ ( P .\/ V ) /\ ( F ` ( G ` P ) ) = P ) ) -> ( R ` G ) = ( ( P .\/ ( G ` P ) ) ( meet ` K ) W ) )
27 7 26 syl5eq 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ F e. T ) /\ ( G e. T /\ -. Q .<_ ( P .\/ V ) /\ ( F ` ( G ` P ) ) = P ) ) -> V = ( ( P .\/ ( G ` P ) ) ( meet ` K ) W ) )
28 10 hllatd 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ F e. T ) /\ ( G e. T /\ -. Q .<_ ( P .\/ V ) /\ ( F ` ( G ` P ) ) = P ) ) -> K e. Lat )
29 1 2 3 4 ltrnel 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ G e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> ( ( G ` P ) e. A /\ -. ( G ` P ) .<_ W ) )
30 16 17 24 29 syl3anc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ F e. T ) /\ ( G e. T /\ -. Q .<_ ( P .\/ V ) /\ ( F ` ( G ` P ) ) = P ) ) -> ( ( G ` P ) e. A /\ -. ( G ` P ) .<_ W ) )
31 30 simpld 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ F e. T ) /\ ( G e. T /\ -. Q .<_ ( P .\/ V ) /\ ( F ` ( G ` P ) ) = P ) ) -> ( G ` P ) e. A )
32 18 6 2 hlatjcl 
 |-  ( ( K e. HL /\ P e. A /\ ( G ` P ) e. A ) -> ( P .\/ ( G ` P ) ) e. ( Base ` K ) )
33 10 11 31 32 syl3anc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ F e. T ) /\ ( G e. T /\ -. Q .<_ ( P .\/ V ) /\ ( F ` ( G ` P ) ) = P ) ) -> ( P .\/ ( G ` P ) ) e. ( Base ` K ) )
34 simp1r 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ F e. T ) /\ ( G e. T /\ -. Q .<_ ( P .\/ V ) /\ ( F ` ( G ` P ) ) = P ) ) -> W e. H )
35 18 3 lhpbase 
 |-  ( W e. H -> W e. ( Base ` K ) )
36 34 35 syl 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ F e. T ) /\ ( G e. T /\ -. Q .<_ ( P .\/ V ) /\ ( F ` ( G ` P ) ) = P ) ) -> W e. ( Base ` K ) )
37 18 1 8 latmle2 
 |-  ( ( K e. Lat /\ ( P .\/ ( G ` P ) ) e. ( Base ` K ) /\ W e. ( Base ` K ) ) -> ( ( P .\/ ( G ` P ) ) ( meet ` K ) W ) .<_ W )
38 28 33 36 37 syl3anc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ F e. T ) /\ ( G e. T /\ -. Q .<_ ( P .\/ V ) /\ ( F ` ( G ` P ) ) = P ) ) -> ( ( P .\/ ( G ` P ) ) ( meet ` K ) W ) .<_ W )
39 27 38 eqbrtrd 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ F e. T ) /\ ( G e. T /\ -. Q .<_ ( P .\/ V ) /\ ( F ` ( G ` P ) ) = P ) ) -> V .<_ W )
40 18 2 atbase 
 |-  ( P e. A -> P e. ( Base ` K ) )
41 11 40 syl 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ F e. T ) /\ ( G e. T /\ -. Q .<_ ( P .\/ V ) /\ ( F ` ( G ` P ) ) = P ) ) -> P e. ( Base ` K ) )
42 18 1 lattr 
 |-  ( ( K e. Lat /\ ( P e. ( Base ` K ) /\ V e. ( Base ` K ) /\ W e. ( Base ` K ) ) ) -> ( ( P .<_ V /\ V .<_ W ) -> P .<_ W ) )
43 28 41 21 36 42 syl13anc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ F e. T ) /\ ( G e. T /\ -. Q .<_ ( P .\/ V ) /\ ( F ` ( G ` P ) ) = P ) ) -> ( ( P .<_ V /\ V .<_ W ) -> P .<_ W ) )
44 39 43 mpan2d 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ F e. T ) /\ ( G e. T /\ -. Q .<_ ( P .\/ V ) /\ ( F ` ( G ` P ) ) = P ) ) -> ( P .<_ V -> P .<_ W ) )
45 23 44 mtod 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ F e. T ) /\ ( G e. T /\ -. Q .<_ ( P .\/ V ) /\ ( F ` ( G ` P ) ) = P ) ) -> -. P .<_ V )
46 18 1 6 2 hlexch2 
 |-  ( ( K e. HL /\ ( P e. A /\ Q e. A /\ V e. ( Base ` K ) ) /\ -. P .<_ V ) -> ( P .<_ ( Q .\/ V ) -> Q .<_ ( P .\/ V ) ) )
47 10 11 12 21 45 46 syl131anc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ F e. T ) /\ ( G e. T /\ -. Q .<_ ( P .\/ V ) /\ ( F ` ( G ` P ) ) = P ) ) -> ( P .<_ ( Q .\/ V ) -> Q .<_ ( P .\/ V ) ) )
48 22 47 mtod 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ F e. T ) /\ ( G e. T /\ -. Q .<_ ( P .\/ V ) /\ ( F ` ( G ` P ) ) = P ) ) -> -. P .<_ ( Q .\/ V ) )
49 18 1 6 8 2 2llnma1b 
 |-  ( ( K e. HL /\ ( V e. ( Base ` K ) /\ Q e. A /\ P e. A ) /\ -. P .<_ ( Q .\/ V ) ) -> ( ( Q .\/ V ) ( meet ` K ) ( Q .\/ P ) ) = Q )
50 10 21 12 11 48 49 syl131anc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ F e. T ) /\ ( G e. T /\ -. Q .<_ ( P .\/ V ) /\ ( F ` ( G ` P ) ) = P ) ) -> ( ( Q .\/ V ) ( meet ` K ) ( Q .\/ P ) ) = Q )
51 9 15 50 3eqtrd 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ F e. T ) /\ ( G e. T /\ -. Q .<_ ( P .\/ V ) /\ ( F ` ( G ` P ) ) = P ) ) -> ( F ` ( G ` Q ) ) = Q )