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Theorem chfacfpmmulcl

Description: Closure of the value of the "characteristic factor function" multiplied with a constant polynomial matrix. (Contributed by AV, 23-Nov-2019)

Ref Expression
Hypotheses cayhamlem1.a 
|- A = ( N Mat R )
cayhamlem1.b 
|- B = ( Base ` A )
cayhamlem1.p 
|- P = ( Poly1 ` R )
cayhamlem1.y 
|- Y = ( N Mat P )
cayhamlem1.r 
|- .X. = ( .r ` Y )
cayhamlem1.s 
|- .- = ( -g ` Y )
cayhamlem1.0 
|- .0. = ( 0g ` Y )
cayhamlem1.t 
|- T = ( N matToPolyMat R )
cayhamlem1.g 
|- G = ( n e. NN0 |-> if ( n = 0 , ( .0. .- ( ( T ` M ) .X. ( T ` ( b ` 0 ) ) ) ) , if ( n = ( s + 1 ) , ( T ` ( b ` s ) ) , if ( ( s + 1 ) < n , .0. , ( ( T ` ( b ` ( n - 1 ) ) ) .- ( ( T ` M ) .X. ( T ` ( b ` n ) ) ) ) ) ) ) )
cayhamlem1.e 
|- .^ = ( .g ` ( mulGrp ` Y ) )
Assertion chfacfpmmulcl 
|- ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) /\ K e. NN0 ) -> ( ( K .^ ( T ` M ) ) .X. ( G ` K ) ) e. ( Base ` Y ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 cayhamlem1.a 
 |-  A = ( N Mat R )
2 cayhamlem1.b 
 |-  B = ( Base ` A )
3 cayhamlem1.p 
 |-  P = ( Poly1 ` R )
4 cayhamlem1.y 
 |-  Y = ( N Mat P )
5 cayhamlem1.r 
 |-  .X. = ( .r ` Y )
6 cayhamlem1.s 
 |-  .- = ( -g ` Y )
7 cayhamlem1.0 
 |-  .0. = ( 0g ` Y )
8 cayhamlem1.t 
 |-  T = ( N matToPolyMat R )
9 cayhamlem1.g 
 |-  G = ( n e. NN0 |-> if ( n = 0 , ( .0. .- ( ( T ` M ) .X. ( T ` ( b ` 0 ) ) ) ) , if ( n = ( s + 1 ) , ( T ` ( b ` s ) ) , if ( ( s + 1 ) < n , .0. , ( ( T ` ( b ` ( n - 1 ) ) ) .- ( ( T ` M ) .X. ( T ` ( b ` n ) ) ) ) ) ) ) )
10 cayhamlem1.e 
 |-  .^ = ( .g ` ( mulGrp ` Y ) )
11 crngring 
 |-  ( R e. CRing -> R e. Ring )
12 3 4 pmatring 
 |-  ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> Y e. Ring )
13 11 12 sylan2 
 |-  ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) -> Y e. Ring )
14 13 3adant3 
 |-  ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) -> Y e. Ring )
15 14 3ad2ant1 
 |-  ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) /\ K e. NN0 ) -> Y e. Ring )
16 eqid 
 |-  ( mulGrp ` Y ) = ( mulGrp ` Y )
17 16 ringmgp 
 |-  ( Y e. Ring -> ( mulGrp ` Y ) e. Mnd )
18 14 17 syl 
 |-  ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) -> ( mulGrp ` Y ) e. Mnd )
19 18 3ad2ant1 
 |-  ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) /\ K e. NN0 ) -> ( mulGrp ` Y ) e. Mnd )
20 simp3 
 |-  ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) /\ K e. NN0 ) -> K e. NN0 )
21 8 1 2 3 4 mat2pmatbas 
 |-  ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ M e. B ) -> ( T ` M ) e. ( Base ` Y ) )
22 11 21 syl3an2 
 |-  ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) -> ( T ` M ) e. ( Base ` Y ) )
23 22 3ad2ant1 
 |-  ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) /\ K e. NN0 ) -> ( T ` M ) e. ( Base ` Y ) )
24 eqid 
 |-  ( Base ` Y ) = ( Base ` Y )
25 16 24 mgpbas 
 |-  ( Base ` Y ) = ( Base ` ( mulGrp ` Y ) )
26 25 10 mulgnn0cl 
 |-  ( ( ( mulGrp ` Y ) e. Mnd /\ K e. NN0 /\ ( T ` M ) e. ( Base ` Y ) ) -> ( K .^ ( T ` M ) ) e. ( Base ` Y ) )
27 19 20 23 26 syl3anc 
 |-  ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) /\ K e. NN0 ) -> ( K .^ ( T ` M ) ) e. ( Base ` Y ) )
28 1 2 3 4 5 6 7 8 9 chfacfisf 
 |-  ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) -> G : NN0 --> ( Base ` Y ) )
29 11 28 syl3anl2 
 |-  ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) -> G : NN0 --> ( Base ` Y ) )
30 29 3adant3 
 |-  ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) /\ K e. NN0 ) -> G : NN0 --> ( Base ` Y ) )
31 30 20 ffvelrnd 
 |-  ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) /\ K e. NN0 ) -> ( G ` K ) e. ( Base ` Y ) )
32 24 5 ringcl 
 |-  ( ( Y e. Ring /\ ( K .^ ( T ` M ) ) e. ( Base ` Y ) /\ ( G ` K ) e. ( Base ` Y ) ) -> ( ( K .^ ( T ` M ) ) .X. ( G ` K ) ) e. ( Base ` Y ) )
33 15 27 31 32 syl3anc 
 |-  ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) /\ K e. NN0 ) -> ( ( K .^ ( T ` M ) ) .X. ( G ` K ) ) e. ( Base ` Y ) )