Theorem clatglb

Description: Properties of greatest lower bound of a complete lattice. (Contributed by NM, 5-Dec-2011)

	Ref	Expression
Hypotheses	clatglb.b	|- B = ( Base ` K )
	clatglb.l	|- .<_ = ( le ` K )
	clatglb.g	|- G = ( glb ` K )
Assertion	clatglb	|- ( ( K e. CLat /\ S C_ B ) -> ( A. y e. S ( G ` S ) .<_ y /\ A. z e. B ( A. y e. S z .<_ y -> z .<_ ( G ` S ) ) ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		clatglb.b	|- B = ( Base ` K )
2		clatglb.l	|- .<_ = ( le ` K )
3		clatglb.g	|- G = ( glb ` K )
4		simpl	|- ( ( K e. CLat /\ S C_ B ) -> K e. CLat )
5	1 3	clatglbcl2	|- ( ( K e. CLat /\ S C_ B ) -> S e. dom G )
6	1 2 3 4 5	glbprop	|- ( ( K e. CLat /\ S C_ B ) -> ( A. y e. S ( G ` S ) .<_ y /\ A. z e. B ( A. y e. S z .<_ y -> z .<_ ( G ` S ) ) ) )