Theorem cmncom

Description: A commutative monoid is commutative. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jan-2015)

	Ref	Expression
Hypotheses	ablcom.b	|- B = ( Base ` G )
	ablcom.p	|- .+ = ( +g ` G )
Assertion	cmncom	|- ( ( G e. CMnd /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .+ Y ) = ( Y .+ X ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ablcom.b	|- B = ( Base ` G )
2		ablcom.p	|- .+ = ( +g ` G )
3	1 2	iscmn	|- ( G e. CMnd <-> ( G e. Mnd /\ A. x e. B A. y e. B ( x .+ y ) = ( y .+ x ) ) )
4	3	simprbi	|- ( G e. CMnd -> A. x e. B A. y e. B ( x .+ y ) = ( y .+ x ) )
5		rsp2	|- ( A. x e. B A. y e. B ( x .+ y ) = ( y .+ x ) -> ( ( x e. B /\ y e. B ) -> ( x .+ y ) = ( y .+ x ) ) )
6	5	imp	|- ( ( A. x e. B A. y e. B ( x .+ y ) = ( y .+ x ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( x .+ y ) = ( y .+ x ) )
7	4 6	sylan	|- ( ( G e. CMnd /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( x .+ y ) = ( y .+ x ) )
8	7	caovcomg	|- ( ( G e. CMnd /\ ( X e. B /\ Y e. B ) ) -> ( X .+ Y ) = ( Y .+ X ) )
9	8	3impb	|- ( ( G e. CMnd /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .+ Y ) = ( Y .+ X ) )