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Theorem cncnp2

Description: A continuous function is continuous at all points. Theorem 7.2(g) of Munkres p. 107. (Contributed by Raph Levien, 20-Nov-2006) (Proof shortened by Mario Carneiro, 21-Aug-2015)

Ref Expression
Hypotheses cncnp.1 
|- X = U. J
cncnp.2 
|- Y = U. K
Assertion cncnp2 
|- ( X =/= (/) -> ( F e. ( J Cn K ) <-> A. x e. X F e. ( ( J CnP K ) ` x ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 cncnp.1 
 |-  X = U. J
2 cncnp.2 
 |-  Y = U. K
3 cntop1 
 |-  ( F e. ( J Cn K ) -> J e. Top )
4 1 toptopon 
 |-  ( J e. Top <-> J e. ( TopOn ` X ) )
5 3 4 sylib 
 |-  ( F e. ( J Cn K ) -> J e. ( TopOn ` X ) )
6 cntop2 
 |-  ( F e. ( J Cn K ) -> K e. Top )
7 2 toptopon 
 |-  ( K e. Top <-> K e. ( TopOn ` Y ) )
8 6 7 sylib 
 |-  ( F e. ( J Cn K ) -> K e. ( TopOn ` Y ) )
9 1 2 cnf 
 |-  ( F e. ( J Cn K ) -> F : X --> Y )
10 5 8 9 jca31 
 |-  ( F e. ( J Cn K ) -> ( ( J e. ( TopOn ` X ) /\ K e. ( TopOn ` Y ) ) /\ F : X --> Y ) )
11 10 adantl 
 |-  ( ( X =/= (/) /\ F e. ( J Cn K ) ) -> ( ( J e. ( TopOn ` X ) /\ K e. ( TopOn ` Y ) ) /\ F : X --> Y ) )
12 r19.2z 
 |-  ( ( X =/= (/) /\ A. x e. X F e. ( ( J CnP K ) ` x ) ) -> E. x e. X F e. ( ( J CnP K ) ` x ) )
13 cnptop1 
 |-  ( F e. ( ( J CnP K ) ` x ) -> J e. Top )
14 13 4 sylib 
 |-  ( F e. ( ( J CnP K ) ` x ) -> J e. ( TopOn ` X ) )
15 cnptop2 
 |-  ( F e. ( ( J CnP K ) ` x ) -> K e. Top )
16 15 7 sylib 
 |-  ( F e. ( ( J CnP K ) ` x ) -> K e. ( TopOn ` Y ) )
17 1 2 cnpf 
 |-  ( F e. ( ( J CnP K ) ` x ) -> F : X --> Y )
18 14 16 17 jca31 
 |-  ( F e. ( ( J CnP K ) ` x ) -> ( ( J e. ( TopOn ` X ) /\ K e. ( TopOn ` Y ) ) /\ F : X --> Y ) )
19 18 rexlimivw 
 |-  ( E. x e. X F e. ( ( J CnP K ) ` x ) -> ( ( J e. ( TopOn ` X ) /\ K e. ( TopOn ` Y ) ) /\ F : X --> Y ) )
20 12 19 syl 
 |-  ( ( X =/= (/) /\ A. x e. X F e. ( ( J CnP K ) ` x ) ) -> ( ( J e. ( TopOn ` X ) /\ K e. ( TopOn ` Y ) ) /\ F : X --> Y ) )
21 cncnp 
 |-  ( ( J e. ( TopOn ` X ) /\ K e. ( TopOn ` Y ) ) -> ( F e. ( J Cn K ) <-> ( F : X --> Y /\ A. x e. X F e. ( ( J CnP K ) ` x ) ) ) )
22 21 baibd 
 |-  ( ( ( J e. ( TopOn ` X ) /\ K e. ( TopOn ` Y ) ) /\ F : X --> Y ) -> ( F e. ( J Cn K ) <-> A. x e. X F e. ( ( J CnP K ) ` x ) ) )
23 11 20 22 pm5.21nd 
 |-  ( X =/= (/) -> ( F e. ( J Cn K ) <-> A. x e. X F e. ( ( J CnP K ) ` x ) ) )