Theorem cnvintabd

Description: Value of the converse of the intersection of a nonempty class. (Contributed by RP, 20-Aug-2020)

	Ref	Expression
Hypothesis	cnvintabd.x	|- ( ph -> E. x ps )
Assertion	cnvintabd	|- ( ph -> `' |^| { x | ps } = |^| { w e. ~P ( _V X. _V ) | E. x ( w = `' x /\ ps ) } )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnvintabd.x	|- ( ph -> E. x ps )
2		pm5.5	|- ( E. x ps -> ( ( E. x ps -> y e. ( _V X. _V ) ) <-> y e. ( _V X. _V ) ) )
3	1 2	syl	|- ( ph -> ( ( E. x ps -> y e. ( _V X. _V ) ) <-> y e. ( _V X. _V ) ) )
4	3	bicomd	|- ( ph -> ( y e. ( _V X. _V ) <-> ( E. x ps -> y e. ( _V X. _V ) ) ) )
5	4	anbi1d	|- ( ph -> ( ( y e. ( _V X. _V ) /\ A. x ( ps -> y e. `' x ) ) <-> ( ( E. x ps -> y e. ( _V X. _V ) ) /\ A. x ( ps -> y e. `' x ) ) ) )
6		elcnvintab	|- ( y e. `' |^| { x | ps } <-> ( y e. ( _V X. _V ) /\ A. x ( ps -> y e. `' x ) ) )
7		vex	|- x e. _V
8	7	cnvex	|- `' x e. _V
9		relcnv	|- Rel `' x
10		df-rel	|- ( Rel `' x <-> `' x C_ ( _V X. _V ) )
11	9 10	mpbi	|- `' x C_ ( _V X. _V )
12	8 11	elmapintrab	|- ( y e. _V -> ( y e. |^| { w e. ~P ( _V X. _V ) | E. x ( w = `' x /\ ps ) } <-> ( ( E. x ps -> y e. ( _V X. _V ) ) /\ A. x ( ps -> y e. `' x ) ) ) )
13	12	elv	|- ( y e. |^| { w e. ~P ( _V X. _V ) | E. x ( w = `' x /\ ps ) } <-> ( ( E. x ps -> y e. ( _V X. _V ) ) /\ A. x ( ps -> y e. `' x ) ) )
14	5 6 13	3bitr4g	|- ( ph -> ( y e. `' |^| { x | ps } <-> y e. |^| { w e. ~P ( _V X. _V ) | E. x ( w = `' x /\ ps ) } ) )
15	14	eqrdv	|- ( ph -> `' |^| { x | ps } = |^| { w e. ~P ( _V X. _V ) | E. x ( w = `' x /\ ps ) } )