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Theorem cotrgOLDOLD

Description: Obsolete version of cotrg as of 19-Dec-2024. (Contributed by NM, 27-Dec-1996) (Proof shortened by Andrew Salmon, 27-Aug-2011) Generalized from its special instance cotr . (Revised by Richard Penner, 24-Dec-2019) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Ref Expression
Assertion cotrgOLDOLD 
|- ( ( A o. B ) C_ C <-> A. x A. y A. z ( ( x B y /\ y A z ) -> x C z ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 relco 
 |-  Rel ( A o. B )
2 ssrel 
 |-  ( Rel ( A o. B ) -> ( ( A o. B ) C_ C <-> A. x A. z ( <. x , z >. e. ( A o. B ) -> <. x , z >. e. C ) ) )
3 1 2 ax-mp 
 |-  ( ( A o. B ) C_ C <-> A. x A. z ( <. x , z >. e. ( A o. B ) -> <. x , z >. e. C ) )
4 vex 
 |-  x e. _V
5 vex 
 |-  z e. _V
6 4 5 opelco 
 |-  ( <. x , z >. e. ( A o. B ) <-> E. y ( x B y /\ y A z ) )
7 df-br 
 |-  ( x C z <-> <. x , z >. e. C )
8 7 bicomi 
 |-  ( <. x , z >. e. C <-> x C z )
9 6 8 imbi12i 
 |-  ( ( <. x , z >. e. ( A o. B ) -> <. x , z >. e. C ) <-> ( E. y ( x B y /\ y A z ) -> x C z ) )
10 19.23v 
 |-  ( A. y ( ( x B y /\ y A z ) -> x C z ) <-> ( E. y ( x B y /\ y A z ) -> x C z ) )
11 9 10 bitr4i 
 |-  ( ( <. x , z >. e. ( A o. B ) -> <. x , z >. e. C ) <-> A. y ( ( x B y /\ y A z ) -> x C z ) )
12 11 albii 
 |-  ( A. z ( <. x , z >. e. ( A o. B ) -> <. x , z >. e. C ) <-> A. z A. y ( ( x B y /\ y A z ) -> x C z ) )
13 alcom 
 |-  ( A. z A. y ( ( x B y /\ y A z ) -> x C z ) <-> A. y A. z ( ( x B y /\ y A z ) -> x C z ) )
14 12 13 bitri 
 |-  ( A. z ( <. x , z >. e. ( A o. B ) -> <. x , z >. e. C ) <-> A. y A. z ( ( x B y /\ y A z ) -> x C z ) )
15 14 albii 
 |-  ( A. x A. z ( <. x , z >. e. ( A o. B ) -> <. x , z >. e. C ) <-> A. x A. y A. z ( ( x B y /\ y A z ) -> x C z ) )
16 3 15 bitri 
 |-  ( ( A o. B ) C_ C <-> A. x A. y A. z ( ( x B y /\ y A z ) -> x C z ) )