Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
dfatafv2ex |
|- ( G defAt A -> ( G '''' A ) e. _V ) |
2 |
|
opeq1 |
|- ( x = ( G '''' A ) -> <. x , y >. = <. ( G '''' A ) , y >. ) |
3 |
2
|
eleq1d |
|- ( x = ( G '''' A ) -> ( <. x , y >. e. F <-> <. ( G '''' A ) , y >. e. F ) ) |
4 |
3
|
ceqsexgv |
|- ( ( G '''' A ) e. _V -> ( E. x ( x = ( G '''' A ) /\ <. x , y >. e. F ) <-> <. ( G '''' A ) , y >. e. F ) ) |
5 |
4
|
bicomd |
|- ( ( G '''' A ) e. _V -> ( <. ( G '''' A ) , y >. e. F <-> E. x ( x = ( G '''' A ) /\ <. x , y >. e. F ) ) ) |
6 |
1 5
|
syl |
|- ( G defAt A -> ( <. ( G '''' A ) , y >. e. F <-> E. x ( x = ( G '''' A ) /\ <. x , y >. e. F ) ) ) |
7 |
|
eqcom |
|- ( x = ( G '''' A ) <-> ( G '''' A ) = x ) |
8 |
|
dfatopafv2b |
|- ( ( G defAt A /\ x e. _V ) -> ( ( G '''' A ) = x <-> <. A , x >. e. G ) ) |
9 |
8
|
elvd |
|- ( G defAt A -> ( ( G '''' A ) = x <-> <. A , x >. e. G ) ) |
10 |
7 9
|
syl5bb |
|- ( G defAt A -> ( x = ( G '''' A ) <-> <. A , x >. e. G ) ) |
11 |
10
|
anbi1d |
|- ( G defAt A -> ( ( x = ( G '''' A ) /\ <. x , y >. e. F ) <-> ( <. A , x >. e. G /\ <. x , y >. e. F ) ) ) |
12 |
11
|
exbidv |
|- ( G defAt A -> ( E. x ( x = ( G '''' A ) /\ <. x , y >. e. F ) <-> E. x ( <. A , x >. e. G /\ <. x , y >. e. F ) ) ) |
13 |
6 12
|
bitrd |
|- ( G defAt A -> ( <. ( G '''' A ) , y >. e. F <-> E. x ( <. A , x >. e. G /\ <. x , y >. e. F ) ) ) |
14 |
13
|
exbidv |
|- ( G defAt A -> ( E. y <. ( G '''' A ) , y >. e. F <-> E. y E. x ( <. A , x >. e. G /\ <. x , y >. e. F ) ) ) |
15 |
|
eldm2g |
|- ( ( G '''' A ) e. _V -> ( ( G '''' A ) e. dom F <-> E. y <. ( G '''' A ) , y >. e. F ) ) |
16 |
1 15
|
syl |
|- ( G defAt A -> ( ( G '''' A ) e. dom F <-> E. y <. ( G '''' A ) , y >. e. F ) ) |
17 |
|
df-dfat |
|- ( G defAt A <-> ( A e. dom G /\ Fun ( G |` { A } ) ) ) |
18 |
|
eldm2g |
|- ( A e. dom G -> ( A e. dom ( F o. G ) <-> E. y <. A , y >. e. ( F o. G ) ) ) |
19 |
|
opelco2g |
|- ( ( A e. dom G /\ y e. _V ) -> ( <. A , y >. e. ( F o. G ) <-> E. x ( <. A , x >. e. G /\ <. x , y >. e. F ) ) ) |
20 |
19
|
elvd |
|- ( A e. dom G -> ( <. A , y >. e. ( F o. G ) <-> E. x ( <. A , x >. e. G /\ <. x , y >. e. F ) ) ) |
21 |
20
|
exbidv |
|- ( A e. dom G -> ( E. y <. A , y >. e. ( F o. G ) <-> E. y E. x ( <. A , x >. e. G /\ <. x , y >. e. F ) ) ) |
22 |
18 21
|
bitrd |
|- ( A e. dom G -> ( A e. dom ( F o. G ) <-> E. y E. x ( <. A , x >. e. G /\ <. x , y >. e. F ) ) ) |
23 |
22
|
adantr |
|- ( ( A e. dom G /\ Fun ( G |` { A } ) ) -> ( A e. dom ( F o. G ) <-> E. y E. x ( <. A , x >. e. G /\ <. x , y >. e. F ) ) ) |
24 |
17 23
|
sylbi |
|- ( G defAt A -> ( A e. dom ( F o. G ) <-> E. y E. x ( <. A , x >. e. G /\ <. x , y >. e. F ) ) ) |
25 |
14 16 24
|
3bitr4rd |
|- ( G defAt A -> ( A e. dom ( F o. G ) <-> ( G '''' A ) e. dom F ) ) |