Theorem dfeqvrels3

Description: Alternate definition of the class of equivalence relations. (Contributed by Peter Mazsa, 2-Dec-2019)

	Ref	Expression
Assertion	dfeqvrels3	|- EqvRels = { r e. Rels | ( A. x e. dom r x r x /\ A. x A. y ( x r y -> y r x ) /\ A. x A. y A. z ( ( x r y /\ y r z ) -> x r z ) ) }

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfeqvrels2	|- EqvRels = { r e. Rels | ( ( _I |` dom r ) C_ r /\ `' r C_ r /\ ( r o. r ) C_ r ) }
2		idrefALT	|- ( ( _I |` dom r ) C_ r <-> A. x e. dom r x r x )
3		cnvsym	|- ( `' r C_ r <-> A. x A. y ( x r y -> y r x ) )
4		cotr	|- ( ( r o. r ) C_ r <-> A. x A. y A. z ( ( x r y /\ y r z ) -> x r z ) )
5	2 3 4	3anbi123i	|- ( ( ( _I |` dom r ) C_ r /\ `' r C_ r /\ ( r o. r ) C_ r ) <-> ( A. x e. dom r x r x /\ A. x A. y ( x r y -> y r x ) /\ A. x A. y A. z ( ( x r y /\ y r z ) -> x r z ) ) )
6	1 5	rabbieq	|- EqvRels = { r e. Rels | ( A. x e. dom r x r x /\ A. x A. y ( x r y -> y r x ) /\ A. x A. y A. z ( ( x r y /\ y r z ) -> x r z ) ) }