Theorem doch11

Description: Orthocomplement is one-to-one. (Contributed by NM, 12-Aug-2014)

	Ref	Expression
Hypotheses	doch11.h	|- H = ( LHyp ` K )
	doch11.i	|- I = ( ( DIsoH ` K ) ` W )
	doch11.o	|- ._|_ = ( ( ocH ` K ) ` W )
	doch11.k	|- ( ph -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
	doch11.x	|- ( ph -> X e. ran I )
	doch11.y	|- ( ph -> Y e. ran I )
Assertion	doch11	|- ( ph -> ( ( ._|_ ` X ) = ( ._|_ ` Y ) <-> X = Y ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		doch11.h	|- H = ( LHyp ` K )
2		doch11.i	|- I = ( ( DIsoH ` K ) ` W )
3		doch11.o	|- ._|_ = ( ( ocH ` K ) ` W )
4		doch11.k	|- ( ph -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
5		doch11.x	|- ( ph -> X e. ran I )
6		doch11.y	|- ( ph -> Y e. ran I )
7	1 2 3 4 6 5	dochord	|- ( ph -> ( Y C_ X <-> ( ._|_ ` X ) C_ ( ._|_ ` Y ) ) )
8	1 2 3 4 5 6	dochord	|- ( ph -> ( X C_ Y <-> ( ._|_ ` Y ) C_ ( ._|_ ` X ) ) )
9	7 8	anbi12d	|- ( ph -> ( ( Y C_ X /\ X C_ Y ) <-> ( ( ._|_ ` X ) C_ ( ._|_ ` Y ) /\ ( ._|_ ` Y ) C_ ( ._|_ ` X ) ) ) )
10		eqcom	|- ( X = Y <-> Y = X )
11		eqss	|- ( Y = X <-> ( Y C_ X /\ X C_ Y ) )
12	10 11	bitri	|- ( X = Y <-> ( Y C_ X /\ X C_ Y ) )
13		eqss	|- ( ( ._|_ ` X ) = ( ._|_ ` Y ) <-> ( ( ._|_ ` X ) C_ ( ._|_ ` Y ) /\ ( ._|_ ` Y ) C_ ( ._|_ ` X ) ) )
14	9 12 13	3bitr4g	|- ( ph -> ( X = Y <-> ( ._|_ ` X ) = ( ._|_ ` Y ) ) )
15	14	bicomd	|- ( ph -> ( ( ._|_ ` X ) = ( ._|_ ` Y ) <-> X = Y ) )