Theorem dochsordN

Description: Strict ordering law for orthocomplement. (Contributed by NM, 12-Aug-2014) (New usage is discouraged.)

	Ref	Expression
Hypotheses	doch11.h	|- H = ( LHyp ` K )
	doch11.i	|- I = ( ( DIsoH ` K ) ` W )
	doch11.o	|- ._|_ = ( ( ocH ` K ) ` W )
	doch11.k	|- ( ph -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
	doch11.x	|- ( ph -> X e. ran I )
	doch11.y	|- ( ph -> Y e. ran I )
Assertion	dochsordN	|- ( ph -> ( X C. Y <-> ( ._|_ ` Y ) C. ( ._|_ ` X ) ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		doch11.h	|- H = ( LHyp ` K )
2		doch11.i	|- I = ( ( DIsoH ` K ) ` W )
3		doch11.o	|- ._|_ = ( ( ocH ` K ) ` W )
4		doch11.k	|- ( ph -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
5		doch11.x	|- ( ph -> X e. ran I )
6		doch11.y	|- ( ph -> Y e. ran I )
7	1 2 3 4 5 6	dochord	|- ( ph -> ( X C_ Y <-> ( ._|_ ` Y ) C_ ( ._|_ ` X ) ) )
8	1 2 3 4 6 5	doch11	|- ( ph -> ( ( ._|_ ` Y ) = ( ._|_ ` X ) <-> Y = X ) )
9		eqcom	|- ( Y = X <-> X = Y )
10	8 9	bitr2di	|- ( ph -> ( X = Y <-> ( ._|_ ` Y ) = ( ._|_ ` X ) ) )
11	10	necon3bid	|- ( ph -> ( X =/= Y <-> ( ._|_ ` Y ) =/= ( ._|_ ` X ) ) )
12	7 11	anbi12d	|- ( ph -> ( ( X C_ Y /\ X =/= Y ) <-> ( ( ._|_ ` Y ) C_ ( ._|_ ` X ) /\ ( ._|_ ` Y ) =/= ( ._|_ ` X ) ) ) )
13		df-pss	|- ( X C. Y <-> ( X C_ Y /\ X =/= Y ) )
14		df-pss	|- ( ( ._|_ ` Y ) C. ( ._|_ ` X ) <-> ( ( ._|_ ` Y ) C_ ( ._|_ ` X ) /\ ( ._|_ ` Y ) =/= ( ._|_ ` X ) ) )
15	12 13 14	3bitr4g	|- ( ph -> ( X C. Y <-> ( ._|_ ` Y ) C. ( ._|_ ` X ) ) )