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Theorem dochord

Description: Ordering law for orthocomplement. (Contributed by NM, 12-Aug-2014)

Ref Expression
Hypotheses doch11.h 
|- H = ( LHyp ` K )
doch11.i 
|- I = ( ( DIsoH ` K ) ` W )
doch11.o 
|- ._|_ = ( ( ocH ` K ) ` W )
doch11.k 
|- ( ph -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
doch11.x 
|- ( ph -> X e. ran I )
doch11.y 
|- ( ph -> Y e. ran I )
Assertion dochord 
|- ( ph -> ( X C_ Y <-> ( ._|_ ` Y ) C_ ( ._|_ ` X ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 doch11.h 
 |-  H = ( LHyp ` K )
2 doch11.i 
 |-  I = ( ( DIsoH ` K ) ` W )
3 doch11.o 
 |-  ._|_ = ( ( ocH ` K ) ` W )
4 doch11.k 
 |-  ( ph -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
5 doch11.x 
 |-  ( ph -> X e. ran I )
6 doch11.y 
 |-  ( ph -> Y e. ran I )
7 4 adantr 
 |-  ( ( ph /\ X C_ Y ) -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
8 eqid 
 |-  ( ( DVecH ` K ) ` W ) = ( ( DVecH ` K ) ` W )
9 eqid 
 |-  ( Base ` ( ( DVecH ` K ) ` W ) ) = ( Base ` ( ( DVecH ` K ) ` W ) )
10 1 8 2 9 dihrnss 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ Y e. ran I ) -> Y C_ ( Base ` ( ( DVecH ` K ) ` W ) ) )
11 4 6 10 syl2anc 
 |-  ( ph -> Y C_ ( Base ` ( ( DVecH ` K ) ` W ) ) )
12 11 adantr 
 |-  ( ( ph /\ X C_ Y ) -> Y C_ ( Base ` ( ( DVecH ` K ) ` W ) ) )
13 simpr 
 |-  ( ( ph /\ X C_ Y ) -> X C_ Y )
14 1 8 9 3 dochss 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ Y C_ ( Base ` ( ( DVecH ` K ) ` W ) ) /\ X C_ Y ) -> ( ._|_ ` Y ) C_ ( ._|_ ` X ) )
15 7 12 13 14 syl3anc 
 |-  ( ( ph /\ X C_ Y ) -> ( ._|_ ` Y ) C_ ( ._|_ ` X ) )
16 4 adantr 
 |-  ( ( ph /\ ( ._|_ ` Y ) C_ ( ._|_ ` X ) ) -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
17 1 8 2 9 dihrnss 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ X e. ran I ) -> X C_ ( Base ` ( ( DVecH ` K ) ` W ) ) )
18 4 5 17 syl2anc 
 |-  ( ph -> X C_ ( Base ` ( ( DVecH ` K ) ` W ) ) )
19 1 2 8 9 3 dochcl 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ X C_ ( Base ` ( ( DVecH ` K ) ` W ) ) ) -> ( ._|_ ` X ) e. ran I )
20 4 18 19 syl2anc 
 |-  ( ph -> ( ._|_ ` X ) e. ran I )
21 1 8 2 9 dihrnss 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ._|_ ` X ) e. ran I ) -> ( ._|_ ` X ) C_ ( Base ` ( ( DVecH ` K ) ` W ) ) )
22 4 20 21 syl2anc 
 |-  ( ph -> ( ._|_ ` X ) C_ ( Base ` ( ( DVecH ` K ) ` W ) ) )
23 22 adantr 
 |-  ( ( ph /\ ( ._|_ ` Y ) C_ ( ._|_ ` X ) ) -> ( ._|_ ` X ) C_ ( Base ` ( ( DVecH ` K ) ` W ) ) )
24 simpr 
 |-  ( ( ph /\ ( ._|_ ` Y ) C_ ( ._|_ ` X ) ) -> ( ._|_ ` Y ) C_ ( ._|_ ` X ) )
25 1 8 9 3 dochss 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ._|_ ` X ) C_ ( Base ` ( ( DVecH ` K ) ` W ) ) /\ ( ._|_ ` Y ) C_ ( ._|_ ` X ) ) -> ( ._|_ ` ( ._|_ ` X ) ) C_ ( ._|_ ` ( ._|_ ` Y ) ) )
26 16 23 24 25 syl3anc 
 |-  ( ( ph /\ ( ._|_ ` Y ) C_ ( ._|_ ` X ) ) -> ( ._|_ ` ( ._|_ ` X ) ) C_ ( ._|_ ` ( ._|_ ` Y ) ) )
27 1 2 3 dochoc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ X e. ran I ) -> ( ._|_ ` ( ._|_ ` X ) ) = X )
28 4 5 27 syl2anc 
 |-  ( ph -> ( ._|_ ` ( ._|_ ` X ) ) = X )
29 28 adantr 
 |-  ( ( ph /\ ( ._|_ ` Y ) C_ ( ._|_ ` X ) ) -> ( ._|_ ` ( ._|_ ` X ) ) = X )
30 1 2 3 dochoc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ Y e. ran I ) -> ( ._|_ ` ( ._|_ ` Y ) ) = Y )
31 4 6 30 syl2anc 
 |-  ( ph -> ( ._|_ ` ( ._|_ ` Y ) ) = Y )
32 31 adantr 
 |-  ( ( ph /\ ( ._|_ ` Y ) C_ ( ._|_ ` X ) ) -> ( ._|_ ` ( ._|_ ` Y ) ) = Y )
33 26 29 32 3sstr3d 
 |-  ( ( ph /\ ( ._|_ ` Y ) C_ ( ._|_ ` X ) ) -> X C_ Y )
34 15 33 impbida 
 |-  ( ph -> ( X C_ Y <-> ( ._|_ ` Y ) C_ ( ._|_ ` X ) ) )