Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
dochcl.h |
|- H = ( LHyp ` K ) |
2 |
|
dochcl.i |
|- I = ( ( DIsoH ` K ) ` W ) |
3 |
|
dochcl.u |
|- U = ( ( DVecH ` K ) ` W ) |
4 |
|
dochcl.v |
|- V = ( Base ` U ) |
5 |
|
dochcl.o |
|- ._|_ = ( ( ocH ` K ) ` W ) |
6 |
|
eqid |
|- ( Base ` K ) = ( Base ` K ) |
7 |
|
eqid |
|- ( glb ` K ) = ( glb ` K ) |
8 |
|
eqid |
|- ( oc ` K ) = ( oc ` K ) |
9 |
6 7 8 1 2 3 4 5
|
dochval |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ X C_ V ) -> ( ._|_ ` X ) = ( I ` ( ( oc ` K ) ` ( ( glb ` K ) ` { y e. ( Base ` K ) | X C_ ( I ` y ) } ) ) ) ) |
10 |
|
hlop |
|- ( K e. HL -> K e. OP ) |
11 |
10
|
ad2antrr |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ X C_ V ) -> K e. OP ) |
12 |
|
hlclat |
|- ( K e. HL -> K e. CLat ) |
13 |
12
|
ad2antrr |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ X C_ V ) -> K e. CLat ) |
14 |
|
ssrab2 |
|- { y e. ( Base ` K ) | X C_ ( I ` y ) } C_ ( Base ` K ) |
15 |
6 7
|
clatglbcl |
|- ( ( K e. CLat /\ { y e. ( Base ` K ) | X C_ ( I ` y ) } C_ ( Base ` K ) ) -> ( ( glb ` K ) ` { y e. ( Base ` K ) | X C_ ( I ` y ) } ) e. ( Base ` K ) ) |
16 |
13 14 15
|
sylancl |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ X C_ V ) -> ( ( glb ` K ) ` { y e. ( Base ` K ) | X C_ ( I ` y ) } ) e. ( Base ` K ) ) |
17 |
6 8
|
opoccl |
|- ( ( K e. OP /\ ( ( glb ` K ) ` { y e. ( Base ` K ) | X C_ ( I ` y ) } ) e. ( Base ` K ) ) -> ( ( oc ` K ) ` ( ( glb ` K ) ` { y e. ( Base ` K ) | X C_ ( I ` y ) } ) ) e. ( Base ` K ) ) |
18 |
11 16 17
|
syl2anc |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ X C_ V ) -> ( ( oc ` K ) ` ( ( glb ` K ) ` { y e. ( Base ` K ) | X C_ ( I ` y ) } ) ) e. ( Base ` K ) ) |
19 |
6 1 2
|
dihcl |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( oc ` K ) ` ( ( glb ` K ) ` { y e. ( Base ` K ) | X C_ ( I ` y ) } ) ) e. ( Base ` K ) ) -> ( I ` ( ( oc ` K ) ` ( ( glb ` K ) ` { y e. ( Base ` K ) | X C_ ( I ` y ) } ) ) ) e. ran I ) |
20 |
18 19
|
syldan |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ X C_ V ) -> ( I ` ( ( oc ` K ) ` ( ( glb ` K ) ` { y e. ( Base ` K ) | X C_ ( I ` y ) } ) ) ) e. ran I ) |
21 |
9 20
|
eqeltrd |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ X C_ V ) -> ( ._|_ ` X ) e. ran I ) |