Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
dochval.b |
|- B = ( Base ` K ) |
2 |
|
dochval.g |
|- G = ( glb ` K ) |
3 |
|
dochval.o |
|- ._|_ = ( oc ` K ) |
4 |
|
dochval.h |
|- H = ( LHyp ` K ) |
5 |
|
dochval.i |
|- I = ( ( DIsoH ` K ) ` W ) |
6 |
|
dochval.u |
|- U = ( ( DVecH ` K ) ` W ) |
7 |
|
dochval.v |
|- V = ( Base ` U ) |
8 |
|
dochval.n |
|- N = ( ( ocH ` K ) ` W ) |
9 |
1 2 3 4 5 6 7 8
|
dochfval |
|- ( ( K e. Y /\ W e. H ) -> N = ( x e. ~P V |-> ( I ` ( ._|_ ` ( G ` { y e. B | x C_ ( I ` y ) } ) ) ) ) ) |
10 |
9
|
adantr |
|- ( ( ( K e. Y /\ W e. H ) /\ X C_ V ) -> N = ( x e. ~P V |-> ( I ` ( ._|_ ` ( G ` { y e. B | x C_ ( I ` y ) } ) ) ) ) ) |
11 |
10
|
fveq1d |
|- ( ( ( K e. Y /\ W e. H ) /\ X C_ V ) -> ( N ` X ) = ( ( x e. ~P V |-> ( I ` ( ._|_ ` ( G ` { y e. B | x C_ ( I ` y ) } ) ) ) ) ` X ) ) |
12 |
7
|
fvexi |
|- V e. _V |
13 |
12
|
elpw2 |
|- ( X e. ~P V <-> X C_ V ) |
14 |
13
|
biimpri |
|- ( X C_ V -> X e. ~P V ) |
15 |
14
|
adantl |
|- ( ( ( K e. Y /\ W e. H ) /\ X C_ V ) -> X e. ~P V ) |
16 |
|
fvex |
|- ( I ` ( ._|_ ` ( G ` { y e. B | X C_ ( I ` y ) } ) ) ) e. _V |
17 |
|
sseq1 |
|- ( x = X -> ( x C_ ( I ` y ) <-> X C_ ( I ` y ) ) ) |
18 |
17
|
rabbidv |
|- ( x = X -> { y e. B | x C_ ( I ` y ) } = { y e. B | X C_ ( I ` y ) } ) |
19 |
18
|
fveq2d |
|- ( x = X -> ( G ` { y e. B | x C_ ( I ` y ) } ) = ( G ` { y e. B | X C_ ( I ` y ) } ) ) |
20 |
19
|
fveq2d |
|- ( x = X -> ( ._|_ ` ( G ` { y e. B | x C_ ( I ` y ) } ) ) = ( ._|_ ` ( G ` { y e. B | X C_ ( I ` y ) } ) ) ) |
21 |
20
|
fveq2d |
|- ( x = X -> ( I ` ( ._|_ ` ( G ` { y e. B | x C_ ( I ` y ) } ) ) ) = ( I ` ( ._|_ ` ( G ` { y e. B | X C_ ( I ` y ) } ) ) ) ) |
22 |
|
eqid |
|- ( x e. ~P V |-> ( I ` ( ._|_ ` ( G ` { y e. B | x C_ ( I ` y ) } ) ) ) ) = ( x e. ~P V |-> ( I ` ( ._|_ ` ( G ` { y e. B | x C_ ( I ` y ) } ) ) ) ) |
23 |
21 22
|
fvmptg |
|- ( ( X e. ~P V /\ ( I ` ( ._|_ ` ( G ` { y e. B | X C_ ( I ` y ) } ) ) ) e. _V ) -> ( ( x e. ~P V |-> ( I ` ( ._|_ ` ( G ` { y e. B | x C_ ( I ` y ) } ) ) ) ) ` X ) = ( I ` ( ._|_ ` ( G ` { y e. B | X C_ ( I ` y ) } ) ) ) ) |
24 |
15 16 23
|
sylancl |
|- ( ( ( K e. Y /\ W e. H ) /\ X C_ V ) -> ( ( x e. ~P V |-> ( I ` ( ._|_ ` ( G ` { y e. B | x C_ ( I ` y ) } ) ) ) ) ` X ) = ( I ` ( ._|_ ` ( G ` { y e. B | X C_ ( I ` y ) } ) ) ) ) |
25 |
11 24
|
eqtrd |
|- ( ( ( K e. Y /\ W e. H ) /\ X C_ V ) -> ( N ` X ) = ( I ` ( ._|_ ` ( G ` { y e. B | X C_ ( I ` y ) } ) ) ) ) |