Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
dvafmul.h |
|- H = ( LHyp ` K ) |
2 |
|
dvafmul.t |
|- T = ( ( LTrn ` K ) ` W ) |
3 |
|
dvafmul.e |
|- E = ( ( TEndo ` K ) ` W ) |
4 |
|
dvafmul.u |
|- U = ( ( DVecA ` K ) ` W ) |
5 |
|
dvafmul.f |
|- F = ( Scalar ` U ) |
6 |
|
dvafmul.p |
|- .x. = ( .r ` F ) |
7 |
1 2 3 4 5 6
|
dvafmulr |
|- ( ( K e. V /\ W e. H ) -> .x. = ( r e. E , s e. E |-> ( r o. s ) ) ) |
8 |
7
|
oveqd |
|- ( ( K e. V /\ W e. H ) -> ( R .x. S ) = ( R ( r e. E , s e. E |-> ( r o. s ) ) S ) ) |
9 |
|
coexg |
|- ( ( R e. E /\ S e. E ) -> ( R o. S ) e. _V ) |
10 |
|
coeq1 |
|- ( r = R -> ( r o. s ) = ( R o. s ) ) |
11 |
|
coeq2 |
|- ( s = S -> ( R o. s ) = ( R o. S ) ) |
12 |
|
eqid |
|- ( r e. E , s e. E |-> ( r o. s ) ) = ( r e. E , s e. E |-> ( r o. s ) ) |
13 |
10 11 12
|
ovmpog |
|- ( ( R e. E /\ S e. E /\ ( R o. S ) e. _V ) -> ( R ( r e. E , s e. E |-> ( r o. s ) ) S ) = ( R o. S ) ) |
14 |
9 13
|
mpd3an3 |
|- ( ( R e. E /\ S e. E ) -> ( R ( r e. E , s e. E |-> ( r o. s ) ) S ) = ( R o. S ) ) |
15 |
8 14
|
sylan9eq |
|- ( ( ( K e. V /\ W e. H ) /\ ( R e. E /\ S e. E ) ) -> ( R .x. S ) = ( R o. S ) ) |