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Theorem dvasinbx

Description: Derivative exercise: the derivative with respect to y of A x sin(By), given two constants A and B . (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019)

Ref Expression
Assertion dvasinbx
|- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( CC _D ( y e. CC |-> ( A x. ( sin ` ( B x. y ) ) ) ) ) = ( y e. CC |-> ( ( A x. B ) x. ( cos ` ( B x. y ) ) ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 cnelprrecn
 |-  CC e. { RR , CC }
2 1 a1i
 |-  ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> CC e. { RR , CC } )
3 simpll
 |-  ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ y e. CC ) -> A e. CC )
4 0cnd
 |-  ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ y e. CC ) -> 0 e. CC )
5 1 a1i
 |-  ( A e. CC -> CC e. { RR , CC } )
6 id
 |-  ( A e. CC -> A e. CC )
7 5 6 dvmptc
 |-  ( A e. CC -> ( CC _D ( y e. CC |-> A ) ) = ( y e. CC |-> 0 ) )
8 7 adantr
 |-  ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( CC _D ( y e. CC |-> A ) ) = ( y e. CC |-> 0 ) )
9 mulcl
 |-  ( ( B e. CC /\ y e. CC ) -> ( B x. y ) e. CC )
10 9 sincld
 |-  ( ( B e. CC /\ y e. CC ) -> ( sin ` ( B x. y ) ) e. CC )
11 10 adantll
 |-  ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ y e. CC ) -> ( sin ` ( B x. y ) ) e. CC )
12 simpl
 |-  ( ( B e. CC /\ y e. CC ) -> B e. CC )
13 9 coscld
 |-  ( ( B e. CC /\ y e. CC ) -> ( cos ` ( B x. y ) ) e. CC )
14 12 13 mulcld
 |-  ( ( B e. CC /\ y e. CC ) -> ( B x. ( cos ` ( B x. y ) ) ) e. CC )
15 14 adantll
 |-  ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ y e. CC ) -> ( B x. ( cos ` ( B x. y ) ) ) e. CC )
16 dvsinax
 |-  ( B e. CC -> ( CC _D ( y e. CC |-> ( sin ` ( B x. y ) ) ) ) = ( y e. CC |-> ( B x. ( cos ` ( B x. y ) ) ) ) )
17 16 adantl
 |-  ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( CC _D ( y e. CC |-> ( sin ` ( B x. y ) ) ) ) = ( y e. CC |-> ( B x. ( cos ` ( B x. y ) ) ) ) )
18 2 3 4 8 11 15 17 dvmptmul
 |-  ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( CC _D ( y e. CC |-> ( A x. ( sin ` ( B x. y ) ) ) ) ) = ( y e. CC |-> ( ( 0 x. ( sin ` ( B x. y ) ) ) + ( ( B x. ( cos ` ( B x. y ) ) ) x. A ) ) ) )
19 11 mul02d
 |-  ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ y e. CC ) -> ( 0 x. ( sin ` ( B x. y ) ) ) = 0 )
20 12 adantll
 |-  ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ y e. CC ) -> B e. CC )
21 13 adantll
 |-  ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ y e. CC ) -> ( cos ` ( B x. y ) ) e. CC )
22 20 21 3 mul32d
 |-  ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ y e. CC ) -> ( ( B x. ( cos ` ( B x. y ) ) ) x. A ) = ( ( B x. A ) x. ( cos ` ( B x. y ) ) ) )
23 simpr
 |-  ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> B e. CC )
24 simpl
 |-  ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> A e. CC )
25 23 24 mulcomd
 |-  ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( B x. A ) = ( A x. B ) )
26 25 adantr
 |-  ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ y e. CC ) -> ( B x. A ) = ( A x. B ) )
27 26 oveq1d
 |-  ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ y e. CC ) -> ( ( B x. A ) x. ( cos ` ( B x. y ) ) ) = ( ( A x. B ) x. ( cos ` ( B x. y ) ) ) )
28 22 27 eqtrd
 |-  ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ y e. CC ) -> ( ( B x. ( cos ` ( B x. y ) ) ) x. A ) = ( ( A x. B ) x. ( cos ` ( B x. y ) ) ) )
29 19 28 oveq12d
 |-  ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ y e. CC ) -> ( ( 0 x. ( sin ` ( B x. y ) ) ) + ( ( B x. ( cos ` ( B x. y ) ) ) x. A ) ) = ( 0 + ( ( A x. B ) x. ( cos ` ( B x. y ) ) ) ) )
30 3 20 mulcld
 |-  ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ y e. CC ) -> ( A x. B ) e. CC )
31 30 21 mulcld
 |-  ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ y e. CC ) -> ( ( A x. B ) x. ( cos ` ( B x. y ) ) ) e. CC )
32 31 addid2d
 |-  ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ y e. CC ) -> ( 0 + ( ( A x. B ) x. ( cos ` ( B x. y ) ) ) ) = ( ( A x. B ) x. ( cos ` ( B x. y ) ) ) )
33 29 32 eqtrd
 |-  ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ y e. CC ) -> ( ( 0 x. ( sin ` ( B x. y ) ) ) + ( ( B x. ( cos ` ( B x. y ) ) ) x. A ) ) = ( ( A x. B ) x. ( cos ` ( B x. y ) ) ) )
34 33 mpteq2dva
 |-  ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( y e. CC |-> ( ( 0 x. ( sin ` ( B x. y ) ) ) + ( ( B x. ( cos ` ( B x. y ) ) ) x. A ) ) ) = ( y e. CC |-> ( ( A x. B ) x. ( cos ` ( B x. y ) ) ) ) )
35 18 34 eqtrd
 |-  ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( CC _D ( y e. CC |-> ( A x. ( sin ` ( B x. y ) ) ) ) ) = ( y e. CC |-> ( ( A x. B ) x. ( cos ` ( B x. y ) ) ) ) )