Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
cnelprrecn |
|- CC e. { RR , CC } |
2 |
1
|
a1i |
|- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> CC e. { RR , CC } ) |
3 |
|
simpll |
|- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ y e. CC ) -> A e. CC ) |
4 |
|
0cnd |
|- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ y e. CC ) -> 0 e. CC ) |
5 |
1
|
a1i |
|- ( A e. CC -> CC e. { RR , CC } ) |
6 |
|
id |
|- ( A e. CC -> A e. CC ) |
7 |
5 6
|
dvmptc |
|- ( A e. CC -> ( CC _D ( y e. CC |-> A ) ) = ( y e. CC |-> 0 ) ) |
8 |
7
|
adantr |
|- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( CC _D ( y e. CC |-> A ) ) = ( y e. CC |-> 0 ) ) |
9 |
|
mulcl |
|- ( ( B e. CC /\ y e. CC ) -> ( B x. y ) e. CC ) |
10 |
9
|
sincld |
|- ( ( B e. CC /\ y e. CC ) -> ( sin ` ( B x. y ) ) e. CC ) |
11 |
10
|
adantll |
|- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ y e. CC ) -> ( sin ` ( B x. y ) ) e. CC ) |
12 |
|
simpl |
|- ( ( B e. CC /\ y e. CC ) -> B e. CC ) |
13 |
9
|
coscld |
|- ( ( B e. CC /\ y e. CC ) -> ( cos ` ( B x. y ) ) e. CC ) |
14 |
12 13
|
mulcld |
|- ( ( B e. CC /\ y e. CC ) -> ( B x. ( cos ` ( B x. y ) ) ) e. CC ) |
15 |
14
|
adantll |
|- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ y e. CC ) -> ( B x. ( cos ` ( B x. y ) ) ) e. CC ) |
16 |
|
dvsinax |
|- ( B e. CC -> ( CC _D ( y e. CC |-> ( sin ` ( B x. y ) ) ) ) = ( y e. CC |-> ( B x. ( cos ` ( B x. y ) ) ) ) ) |
17 |
16
|
adantl |
|- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( CC _D ( y e. CC |-> ( sin ` ( B x. y ) ) ) ) = ( y e. CC |-> ( B x. ( cos ` ( B x. y ) ) ) ) ) |
18 |
2 3 4 8 11 15 17
|
dvmptmul |
|- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( CC _D ( y e. CC |-> ( A x. ( sin ` ( B x. y ) ) ) ) ) = ( y e. CC |-> ( ( 0 x. ( sin ` ( B x. y ) ) ) + ( ( B x. ( cos ` ( B x. y ) ) ) x. A ) ) ) ) |
19 |
11
|
mul02d |
|- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ y e. CC ) -> ( 0 x. ( sin ` ( B x. y ) ) ) = 0 ) |
20 |
12
|
adantll |
|- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ y e. CC ) -> B e. CC ) |
21 |
13
|
adantll |
|- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ y e. CC ) -> ( cos ` ( B x. y ) ) e. CC ) |
22 |
20 21 3
|
mul32d |
|- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ y e. CC ) -> ( ( B x. ( cos ` ( B x. y ) ) ) x. A ) = ( ( B x. A ) x. ( cos ` ( B x. y ) ) ) ) |
23 |
|
simpr |
|- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> B e. CC ) |
24 |
|
simpl |
|- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> A e. CC ) |
25 |
23 24
|
mulcomd |
|- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( B x. A ) = ( A x. B ) ) |
26 |
25
|
adantr |
|- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ y e. CC ) -> ( B x. A ) = ( A x. B ) ) |
27 |
26
|
oveq1d |
|- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ y e. CC ) -> ( ( B x. A ) x. ( cos ` ( B x. y ) ) ) = ( ( A x. B ) x. ( cos ` ( B x. y ) ) ) ) |
28 |
22 27
|
eqtrd |
|- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ y e. CC ) -> ( ( B x. ( cos ` ( B x. y ) ) ) x. A ) = ( ( A x. B ) x. ( cos ` ( B x. y ) ) ) ) |
29 |
19 28
|
oveq12d |
|- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ y e. CC ) -> ( ( 0 x. ( sin ` ( B x. y ) ) ) + ( ( B x. ( cos ` ( B x. y ) ) ) x. A ) ) = ( 0 + ( ( A x. B ) x. ( cos ` ( B x. y ) ) ) ) ) |
30 |
3 20
|
mulcld |
|- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ y e. CC ) -> ( A x. B ) e. CC ) |
31 |
30 21
|
mulcld |
|- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ y e. CC ) -> ( ( A x. B ) x. ( cos ` ( B x. y ) ) ) e. CC ) |
32 |
31
|
addid2d |
|- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ y e. CC ) -> ( 0 + ( ( A x. B ) x. ( cos ` ( B x. y ) ) ) ) = ( ( A x. B ) x. ( cos ` ( B x. y ) ) ) ) |
33 |
29 32
|
eqtrd |
|- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ y e. CC ) -> ( ( 0 x. ( sin ` ( B x. y ) ) ) + ( ( B x. ( cos ` ( B x. y ) ) ) x. A ) ) = ( ( A x. B ) x. ( cos ` ( B x. y ) ) ) ) |
34 |
33
|
mpteq2dva |
|- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( y e. CC |-> ( ( 0 x. ( sin ` ( B x. y ) ) ) + ( ( B x. ( cos ` ( B x. y ) ) ) x. A ) ) ) = ( y e. CC |-> ( ( A x. B ) x. ( cos ` ( B x. y ) ) ) ) ) |
35 |
18 34
|
eqtrd |
|- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( CC _D ( y e. CC |-> ( A x. ( sin ` ( B x. y ) ) ) ) ) = ( y e. CC |-> ( ( A x. B ) x. ( cos ` ( B x. y ) ) ) ) ) |