Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
replim |
|- ( A e. CC -> A = ( ( Re ` A ) + ( _i x. ( Im ` A ) ) ) ) |
2 |
1
|
fveq2d |
|- ( A e. CC -> ( exp ` A ) = ( exp ` ( ( Re ` A ) + ( _i x. ( Im ` A ) ) ) ) ) |
3 |
|
recl |
|- ( A e. CC -> ( Re ` A ) e. RR ) |
4 |
3
|
recnd |
|- ( A e. CC -> ( Re ` A ) e. CC ) |
5 |
|
ax-icn |
|- _i e. CC |
6 |
|
imcl |
|- ( A e. CC -> ( Im ` A ) e. RR ) |
7 |
6
|
recnd |
|- ( A e. CC -> ( Im ` A ) e. CC ) |
8 |
|
mulcl |
|- ( ( _i e. CC /\ ( Im ` A ) e. CC ) -> ( _i x. ( Im ` A ) ) e. CC ) |
9 |
5 7 8
|
sylancr |
|- ( A e. CC -> ( _i x. ( Im ` A ) ) e. CC ) |
10 |
|
efadd |
|- ( ( ( Re ` A ) e. CC /\ ( _i x. ( Im ` A ) ) e. CC ) -> ( exp ` ( ( Re ` A ) + ( _i x. ( Im ` A ) ) ) ) = ( ( exp ` ( Re ` A ) ) x. ( exp ` ( _i x. ( Im ` A ) ) ) ) ) |
11 |
4 9 10
|
syl2anc |
|- ( A e. CC -> ( exp ` ( ( Re ` A ) + ( _i x. ( Im ` A ) ) ) ) = ( ( exp ` ( Re ` A ) ) x. ( exp ` ( _i x. ( Im ` A ) ) ) ) ) |
12 |
|
efival |
|- ( ( Im ` A ) e. CC -> ( exp ` ( _i x. ( Im ` A ) ) ) = ( ( cos ` ( Im ` A ) ) + ( _i x. ( sin ` ( Im ` A ) ) ) ) ) |
13 |
7 12
|
syl |
|- ( A e. CC -> ( exp ` ( _i x. ( Im ` A ) ) ) = ( ( cos ` ( Im ` A ) ) + ( _i x. ( sin ` ( Im ` A ) ) ) ) ) |
14 |
13
|
oveq2d |
|- ( A e. CC -> ( ( exp ` ( Re ` A ) ) x. ( exp ` ( _i x. ( Im ` A ) ) ) ) = ( ( exp ` ( Re ` A ) ) x. ( ( cos ` ( Im ` A ) ) + ( _i x. ( sin ` ( Im ` A ) ) ) ) ) ) |
15 |
2 11 14
|
3eqtrd |
|- ( A e. CC -> ( exp ` A ) = ( ( exp ` ( Re ` A ) ) x. ( ( cos ` ( Im ` A ) ) + ( _i x. ( sin ` ( Im ` A ) ) ) ) ) ) |