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## Theorem ellnfn

Description: Property defining a linear functional. (Contributed by NM, 11-Feb-2006) (Revised by Mario Carneiro, 16-Nov-2013) (New usage is discouraged.)

Ref Expression
Assertion ellnfn
|- ( T e. LinFn <-> ( T : ~H --> CC /\ A. x e. CC A. y e. ~H A. z e. ~H ( T ` ( ( x .h y ) +h z ) ) = ( ( x x. ( T ` y ) ) + ( T ` z ) ) ) )

### Proof

Step Hyp Ref Expression
1 fveq1
|-  ( t = T -> ( t ` ( ( x .h y ) +h z ) ) = ( T ` ( ( x .h y ) +h z ) ) )
2 fveq1
|-  ( t = T -> ( t ` y ) = ( T ` y ) )
3 2 oveq2d
|-  ( t = T -> ( x x. ( t ` y ) ) = ( x x. ( T ` y ) ) )
4 fveq1
|-  ( t = T -> ( t ` z ) = ( T ` z ) )
5 3 4 oveq12d
|-  ( t = T -> ( ( x x. ( t ` y ) ) + ( t ` z ) ) = ( ( x x. ( T ` y ) ) + ( T ` z ) ) )
6 1 5 eqeq12d
|-  ( t = T -> ( ( t ` ( ( x .h y ) +h z ) ) = ( ( x x. ( t ` y ) ) + ( t ` z ) ) <-> ( T ` ( ( x .h y ) +h z ) ) = ( ( x x. ( T ` y ) ) + ( T ` z ) ) ) )
7 6 ralbidv
|-  ( t = T -> ( A. z e. ~H ( t ` ( ( x .h y ) +h z ) ) = ( ( x x. ( t ` y ) ) + ( t ` z ) ) <-> A. z e. ~H ( T ` ( ( x .h y ) +h z ) ) = ( ( x x. ( T ` y ) ) + ( T ` z ) ) ) )
8 7 2ralbidv
|-  ( t = T -> ( A. x e. CC A. y e. ~H A. z e. ~H ( t ` ( ( x .h y ) +h z ) ) = ( ( x x. ( t ` y ) ) + ( t ` z ) ) <-> A. x e. CC A. y e. ~H A. z e. ~H ( T ` ( ( x .h y ) +h z ) ) = ( ( x x. ( T ` y ) ) + ( T ` z ) ) ) )
9 df-lnfn
|-  LinFn = { t e. ( CC ^m ~H ) | A. x e. CC A. y e. ~H A. z e. ~H ( t ` ( ( x .h y ) +h z ) ) = ( ( x x. ( t ` y ) ) + ( t ` z ) ) }
10 8 9 elrab2
|-  ( T e. LinFn <-> ( T e. ( CC ^m ~H ) /\ A. x e. CC A. y e. ~H A. z e. ~H ( T ` ( ( x .h y ) +h z ) ) = ( ( x x. ( T ` y ) ) + ( T ` z ) ) ) )
11 cnex
|-  CC e. _V
12 ax-hilex
|-  ~H e. _V
13 11 12 elmap
|-  ( T e. ( CC ^m ~H ) <-> T : ~H --> CC )
14 13 anbi1i
|-  ( ( T e. ( CC ^m ~H ) /\ A. x e. CC A. y e. ~H A. z e. ~H ( T ` ( ( x .h y ) +h z ) ) = ( ( x x. ( T ` y ) ) + ( T ` z ) ) ) <-> ( T : ~H --> CC /\ A. x e. CC A. y e. ~H A. z e. ~H ( T ` ( ( x .h y ) +h z ) ) = ( ( x x. ( T ` y ) ) + ( T ` z ) ) ) )
15 10 14 bitri
|-  ( T e. LinFn <-> ( T : ~H --> CC /\ A. x e. CC A. y e. ~H A. z e. ~H ( T ` ( ( x .h y ) +h z ) ) = ( ( x x. ( T ` y ) ) + ( T ` z ) ) ) )