Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
fveq1 |
โข ( ๐ก = ๐ โ ( ๐ก โ ( ( ๐ฅ ยทโ ๐ฆ ) +โ ๐ง ) ) = ( ๐ โ ( ( ๐ฅ ยทโ ๐ฆ ) +โ ๐ง ) ) ) |
2 |
|
fveq1 |
โข ( ๐ก = ๐ โ ( ๐ก โ ๐ฆ ) = ( ๐ โ ๐ฆ ) ) |
3 |
2
|
oveq2d |
โข ( ๐ก = ๐ โ ( ๐ฅ ยท ( ๐ก โ ๐ฆ ) ) = ( ๐ฅ ยท ( ๐ โ ๐ฆ ) ) ) |
4 |
|
fveq1 |
โข ( ๐ก = ๐ โ ( ๐ก โ ๐ง ) = ( ๐ โ ๐ง ) ) |
5 |
3 4
|
oveq12d |
โข ( ๐ก = ๐ โ ( ( ๐ฅ ยท ( ๐ก โ ๐ฆ ) ) + ( ๐ก โ ๐ง ) ) = ( ( ๐ฅ ยท ( ๐ โ ๐ฆ ) ) + ( ๐ โ ๐ง ) ) ) |
6 |
1 5
|
eqeq12d |
โข ( ๐ก = ๐ โ ( ( ๐ก โ ( ( ๐ฅ ยทโ ๐ฆ ) +โ ๐ง ) ) = ( ( ๐ฅ ยท ( ๐ก โ ๐ฆ ) ) + ( ๐ก โ ๐ง ) ) โ ( ๐ โ ( ( ๐ฅ ยทโ ๐ฆ ) +โ ๐ง ) ) = ( ( ๐ฅ ยท ( ๐ โ ๐ฆ ) ) + ( ๐ โ ๐ง ) ) ) ) |
7 |
6
|
ralbidv |
โข ( ๐ก = ๐ โ ( โ ๐ง โ โ ( ๐ก โ ( ( ๐ฅ ยทโ ๐ฆ ) +โ ๐ง ) ) = ( ( ๐ฅ ยท ( ๐ก โ ๐ฆ ) ) + ( ๐ก โ ๐ง ) ) โ โ ๐ง โ โ ( ๐ โ ( ( ๐ฅ ยทโ ๐ฆ ) +โ ๐ง ) ) = ( ( ๐ฅ ยท ( ๐ โ ๐ฆ ) ) + ( ๐ โ ๐ง ) ) ) ) |
8 |
7
|
2ralbidv |
โข ( ๐ก = ๐ โ ( โ ๐ฅ โ โ โ ๐ฆ โ โ โ ๐ง โ โ ( ๐ก โ ( ( ๐ฅ ยทโ ๐ฆ ) +โ ๐ง ) ) = ( ( ๐ฅ ยท ( ๐ก โ ๐ฆ ) ) + ( ๐ก โ ๐ง ) ) โ โ ๐ฅ โ โ โ ๐ฆ โ โ โ ๐ง โ โ ( ๐ โ ( ( ๐ฅ ยทโ ๐ฆ ) +โ ๐ง ) ) = ( ( ๐ฅ ยท ( ๐ โ ๐ฆ ) ) + ( ๐ โ ๐ง ) ) ) ) |
9 |
|
df-lnfn |
โข LinFn = { ๐ก โ ( โ โm โ ) โฃ โ ๐ฅ โ โ โ ๐ฆ โ โ โ ๐ง โ โ ( ๐ก โ ( ( ๐ฅ ยทโ ๐ฆ ) +โ ๐ง ) ) = ( ( ๐ฅ ยท ( ๐ก โ ๐ฆ ) ) + ( ๐ก โ ๐ง ) ) } |
10 |
8 9
|
elrab2 |
โข ( ๐ โ LinFn โ ( ๐ โ ( โ โm โ ) โง โ ๐ฅ โ โ โ ๐ฆ โ โ โ ๐ง โ โ ( ๐ โ ( ( ๐ฅ ยทโ ๐ฆ ) +โ ๐ง ) ) = ( ( ๐ฅ ยท ( ๐ โ ๐ฆ ) ) + ( ๐ โ ๐ง ) ) ) ) |
11 |
|
cnex |
โข โ โ V |
12 |
|
ax-hilex |
โข โ โ V |
13 |
11 12
|
elmap |
โข ( ๐ โ ( โ โm โ ) โ ๐ : โ โถ โ ) |
14 |
13
|
anbi1i |
โข ( ( ๐ โ ( โ โm โ ) โง โ ๐ฅ โ โ โ ๐ฆ โ โ โ ๐ง โ โ ( ๐ โ ( ( ๐ฅ ยทโ ๐ฆ ) +โ ๐ง ) ) = ( ( ๐ฅ ยท ( ๐ โ ๐ฆ ) ) + ( ๐ โ ๐ง ) ) ) โ ( ๐ : โ โถ โ โง โ ๐ฅ โ โ โ ๐ฆ โ โ โ ๐ง โ โ ( ๐ โ ( ( ๐ฅ ยทโ ๐ฆ ) +โ ๐ง ) ) = ( ( ๐ฅ ยท ( ๐ โ ๐ฆ ) ) + ( ๐ โ ๐ง ) ) ) ) |
15 |
10 14
|
bitri |
โข ( ๐ โ LinFn โ ( ๐ : โ โถ โ โง โ ๐ฅ โ โ โ ๐ฆ โ โ โ ๐ง โ โ ( ๐ โ ( ( ๐ฅ ยทโ ๐ฆ ) +โ ๐ง ) ) = ( ( ๐ฅ ยท ( ๐ โ ๐ฆ ) ) + ( ๐ โ ๐ง ) ) ) ) |