Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
dmeq |
|- ( f = F -> dom f = dom F ) |
2 |
1
|
ineq1d |
|- ( f = F -> ( dom f i^i ( x [,) +oo ) ) = ( dom F i^i ( x [,) +oo ) ) ) |
3 |
|
fveq1 |
|- ( f = F -> ( f ` y ) = ( F ` y ) ) |
4 |
3
|
fveq2d |
|- ( f = F -> ( abs ` ( f ` y ) ) = ( abs ` ( F ` y ) ) ) |
5 |
4
|
breq1d |
|- ( f = F -> ( ( abs ` ( f ` y ) ) <_ m <-> ( abs ` ( F ` y ) ) <_ m ) ) |
6 |
2 5
|
raleqbidv |
|- ( f = F -> ( A. y e. ( dom f i^i ( x [,) +oo ) ) ( abs ` ( f ` y ) ) <_ m <-> A. y e. ( dom F i^i ( x [,) +oo ) ) ( abs ` ( F ` y ) ) <_ m ) ) |
7 |
6
|
2rexbidv |
|- ( f = F -> ( E. x e. RR E. m e. RR A. y e. ( dom f i^i ( x [,) +oo ) ) ( abs ` ( f ` y ) ) <_ m <-> E. x e. RR E. m e. RR A. y e. ( dom F i^i ( x [,) +oo ) ) ( abs ` ( F ` y ) ) <_ m ) ) |
8 |
|
df-o1 |
|- O(1) = { f e. ( CC ^pm RR ) | E. x e. RR E. m e. RR A. y e. ( dom f i^i ( x [,) +oo ) ) ( abs ` ( f ` y ) ) <_ m } |
9 |
7 8
|
elrab2 |
|- ( F e. O(1) <-> ( F e. ( CC ^pm RR ) /\ E. x e. RR E. m e. RR A. y e. ( dom F i^i ( x [,) +oo ) ) ( abs ` ( F ` y ) ) <_ m ) ) |