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Theorem eltskm

Description: Belonging to ( tarskiMapA ) . (Contributed by FL, 17-Apr-2011) (Proof shortened by Mario Carneiro, 21-Sep-2014)

Ref Expression
Assertion eltskm 
|- ( A e. V -> ( B e. ( tarskiMap ` A ) <-> A. x e. Tarski ( A e. x -> B e. x ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 tskmval 
 |-  ( A e. V -> ( tarskiMap ` A ) = |^| { x e. Tarski | A e. x } )
2 1 eleq2d 
 |-  ( A e. V -> ( B e. ( tarskiMap ` A ) <-> B e. |^| { x e. Tarski | A e. x } ) )
3 elex 
 |-  ( B e. |^| { x e. Tarski | A e. x } -> B e. _V )
4 3 a1i 
 |-  ( A e. V -> ( B e. |^| { x e. Tarski | A e. x } -> B e. _V ) )
5 tskmid 
 |-  ( A e. V -> A e. ( tarskiMap ` A ) )
6 tskmcl 
 |-  ( tarskiMap ` A ) e. Tarski
7 eleq2 
 |-  ( x = ( tarskiMap ` A ) -> ( A e. x <-> A e. ( tarskiMap ` A ) ) )
8 eleq2 
 |-  ( x = ( tarskiMap ` A ) -> ( B e. x <-> B e. ( tarskiMap ` A ) ) )
9 7 8 imbi12d 
 |-  ( x = ( tarskiMap ` A ) -> ( ( A e. x -> B e. x ) <-> ( A e. ( tarskiMap ` A ) -> B e. ( tarskiMap ` A ) ) ) )
10 9 rspcv 
 |-  ( ( tarskiMap ` A ) e. Tarski -> ( A. x e. Tarski ( A e. x -> B e. x ) -> ( A e. ( tarskiMap ` A ) -> B e. ( tarskiMap ` A ) ) ) )
11 6 10 ax-mp 
 |-  ( A. x e. Tarski ( A e. x -> B e. x ) -> ( A e. ( tarskiMap ` A ) -> B e. ( tarskiMap ` A ) ) )
12 5 11 syl5com 
 |-  ( A e. V -> ( A. x e. Tarski ( A e. x -> B e. x ) -> B e. ( tarskiMap ` A ) ) )
13 elex 
 |-  ( B e. ( tarskiMap ` A ) -> B e. _V )
14 12 13 syl6 
 |-  ( A e. V -> ( A. x e. Tarski ( A e. x -> B e. x ) -> B e. _V ) )
15 elintrabg 
 |-  ( B e. _V -> ( B e. |^| { x e. Tarski | A e. x } <-> A. x e. Tarski ( A e. x -> B e. x ) ) )
16 15 a1i 
 |-  ( A e. V -> ( B e. _V -> ( B e. |^| { x e. Tarski | A e. x } <-> A. x e. Tarski ( A e. x -> B e. x ) ) ) )
17 4 14 16 pm5.21ndd 
 |-  ( A e. V -> ( B e. |^| { x e. Tarski | A e. x } <-> A. x e. Tarski ( A e. x -> B e. x ) ) )
18 2 17 bitrd 
 |-  ( A e. V -> ( B e. ( tarskiMap ` A ) <-> A. x e. Tarski ( A e. x -> B e. x ) ) )