Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
erngset.h |
|- H = ( LHyp ` K ) |
2 |
|
erngset.t |
|- T = ( ( LTrn ` K ) ` W ) |
3 |
|
erngset.e |
|- E = ( ( TEndo ` K ) ` W ) |
4 |
|
erngset.d |
|- D = ( ( EDRing ` K ) ` W ) |
5 |
|
erng.m |
|- .x. = ( .r ` D ) |
6 |
1 2 3 4 5
|
erngfmul |
|- ( ( K e. X /\ W e. H ) -> .x. = ( s e. E , t e. E |-> ( s o. t ) ) ) |
7 |
6
|
oveqd |
|- ( ( K e. X /\ W e. H ) -> ( U .x. V ) = ( U ( s e. E , t e. E |-> ( s o. t ) ) V ) ) |
8 |
|
coexg |
|- ( ( U e. E /\ V e. E ) -> ( U o. V ) e. _V ) |
9 |
|
coeq1 |
|- ( s = U -> ( s o. t ) = ( U o. t ) ) |
10 |
|
coeq2 |
|- ( t = V -> ( U o. t ) = ( U o. V ) ) |
11 |
|
eqid |
|- ( s e. E , t e. E |-> ( s o. t ) ) = ( s e. E , t e. E |-> ( s o. t ) ) |
12 |
9 10 11
|
ovmpog |
|- ( ( U e. E /\ V e. E /\ ( U o. V ) e. _V ) -> ( U ( s e. E , t e. E |-> ( s o. t ) ) V ) = ( U o. V ) ) |
13 |
8 12
|
mpd3an3 |
|- ( ( U e. E /\ V e. E ) -> ( U ( s e. E , t e. E |-> ( s o. t ) ) V ) = ( U o. V ) ) |
14 |
7 13
|
sylan9eq |
|- ( ( ( K e. X /\ W e. H ) /\ ( U e. E /\ V e. E ) ) -> ( U .x. V ) = ( U o. V ) ) |