Theorem eujustALT

Description: Alternate proof of eujust illustrating the use of dvelim . (Contributed by NM, 11-Mar-2010) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

	Ref	Expression
Assertion	eujustALT	|- ( E. y A. x ( ph <-> x = y ) <-> E. z A. x ( ph <-> x = z ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		equequ2	|- ( y = z -> ( x = y <-> x = z ) )
2	1	bibi2d	|- ( y = z -> ( ( ph <-> x = y ) <-> ( ph <-> x = z ) ) )
3	2	albidv	|- ( y = z -> ( A. x ( ph <-> x = y ) <-> A. x ( ph <-> x = z ) ) )
4	3	sps	|- ( A. y y = z -> ( A. x ( ph <-> x = y ) <-> A. x ( ph <-> x = z ) ) )
5	4	drex1	|- ( A. y y = z -> ( E. y A. x ( ph <-> x = y ) <-> E. z A. x ( ph <-> x = z ) ) )
6		hbnae	|- ( -. A. y y = z -> A. y -. A. y y = z )
7		hbnae	|- ( -. A. y y = z -> A. z -. A. y y = z )
8	6 7	alrimih	|- ( -. A. y y = z -> A. y A. z -. A. y y = z )
9		ax-5	|- ( -. A. x ( ph <-> x = w ) -> A. z -. A. x ( ph <-> x = w ) )
10		equequ2	|- ( w = y -> ( x = w <-> x = y ) )
11	10	bibi2d	|- ( w = y -> ( ( ph <-> x = w ) <-> ( ph <-> x = y ) ) )
12	11	albidv	|- ( w = y -> ( A. x ( ph <-> x = w ) <-> A. x ( ph <-> x = y ) ) )
13	12	notbid	|- ( w = y -> ( -. A. x ( ph <-> x = w ) <-> -. A. x ( ph <-> x = y ) ) )
14	9 13	dvelim	|- ( -. A. z z = y -> ( -. A. x ( ph <-> x = y ) -> A. z -. A. x ( ph <-> x = y ) ) )
15	14	naecoms	|- ( -. A. y y = z -> ( -. A. x ( ph <-> x = y ) -> A. z -. A. x ( ph <-> x = y ) ) )
16		ax-5	|- ( -. A. x ( ph <-> x = w ) -> A. y -. A. x ( ph <-> x = w ) )
17		equequ2	|- ( w = z -> ( x = w <-> x = z ) )
18	17	bibi2d	|- ( w = z -> ( ( ph <-> x = w ) <-> ( ph <-> x = z ) ) )
19	18	albidv	|- ( w = z -> ( A. x ( ph <-> x = w ) <-> A. x ( ph <-> x = z ) ) )
20	19	notbid	|- ( w = z -> ( -. A. x ( ph <-> x = w ) <-> -. A. x ( ph <-> x = z ) ) )
21	16 20	dvelim	|- ( -. A. y y = z -> ( -. A. x ( ph <-> x = z ) -> A. y -. A. x ( ph <-> x = z ) ) )
22	3	notbid	|- ( y = z -> ( -. A. x ( ph <-> x = y ) <-> -. A. x ( ph <-> x = z ) ) )
23	22	a1i	|- ( -. A. y y = z -> ( y = z -> ( -. A. x ( ph <-> x = y ) <-> -. A. x ( ph <-> x = z ) ) ) )
24	15 21 23	cbv2h	|- ( A. y A. z -. A. y y = z -> ( A. y -. A. x ( ph <-> x = y ) <-> A. z -. A. x ( ph <-> x = z ) ) )
25	8 24	syl	|- ( -. A. y y = z -> ( A. y -. A. x ( ph <-> x = y ) <-> A. z -. A. x ( ph <-> x = z ) ) )
26	25	notbid	|- ( -. A. y y = z -> ( -. A. y -. A. x ( ph <-> x = y ) <-> -. A. z -. A. x ( ph <-> x = z ) ) )
27		df-ex	|- ( E. y A. x ( ph <-> x = y ) <-> -. A. y -. A. x ( ph <-> x = y ) )
28		df-ex	|- ( E. z A. x ( ph <-> x = z ) <-> -. A. z -. A. x ( ph <-> x = z ) )
29	26 27 28	3bitr4g	|- ( -. A. y y = z -> ( E. y A. x ( ph <-> x = y ) <-> E. z A. x ( ph <-> x = z ) ) )
30	5 29	pm2.61i	|- ( E. y A. x ( ph <-> x = y ) <-> E. z A. x ( ph <-> x = z ) )