Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
simpl1 |
|- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A /\ A <_ 1 ) /\ N e. NN0 ) -> A e. RR ) |
2 |
|
0nn0 |
|- 0 e. NN0 |
3 |
2
|
a1i |
|- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A /\ A <_ 1 ) /\ N e. NN0 ) -> 0 e. NN0 ) |
4 |
|
simpr |
|- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A /\ A <_ 1 ) /\ N e. NN0 ) -> N e. NN0 ) |
5 |
|
nn0uz |
|- NN0 = ( ZZ>= ` 0 ) |
6 |
4 5
|
eleqtrdi |
|- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A /\ A <_ 1 ) /\ N e. NN0 ) -> N e. ( ZZ>= ` 0 ) ) |
7 |
|
simpl2 |
|- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A /\ A <_ 1 ) /\ N e. NN0 ) -> 0 <_ A ) |
8 |
|
simpl3 |
|- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A /\ A <_ 1 ) /\ N e. NN0 ) -> A <_ 1 ) |
9 |
|
leexp2r |
|- ( ( ( A e. RR /\ 0 e. NN0 /\ N e. ( ZZ>= ` 0 ) ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ 1 ) ) -> ( A ^ N ) <_ ( A ^ 0 ) ) |
10 |
1 3 6 7 8 9
|
syl32anc |
|- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A /\ A <_ 1 ) /\ N e. NN0 ) -> ( A ^ N ) <_ ( A ^ 0 ) ) |
11 |
1
|
recnd |
|- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A /\ A <_ 1 ) /\ N e. NN0 ) -> A e. CC ) |
12 |
|
exp0 |
|- ( A e. CC -> ( A ^ 0 ) = 1 ) |
13 |
11 12
|
syl |
|- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A /\ A <_ 1 ) /\ N e. NN0 ) -> ( A ^ 0 ) = 1 ) |
14 |
10 13
|
breqtrd |
|- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A /\ A <_ 1 ) /\ N e. NN0 ) -> ( A ^ N ) <_ 1 ) |