Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
oveq2 |
|- ( j = M -> ( A ^ j ) = ( A ^ M ) ) |
2 |
1
|
breq1d |
|- ( j = M -> ( ( A ^ j ) <_ ( A ^ M ) <-> ( A ^ M ) <_ ( A ^ M ) ) ) |
3 |
2
|
imbi2d |
|- ( j = M -> ( ( ( ( A e. RR /\ M e. NN0 ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ 1 ) ) -> ( A ^ j ) <_ ( A ^ M ) ) <-> ( ( ( A e. RR /\ M e. NN0 ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ 1 ) ) -> ( A ^ M ) <_ ( A ^ M ) ) ) ) |
4 |
|
oveq2 |
|- ( j = k -> ( A ^ j ) = ( A ^ k ) ) |
5 |
4
|
breq1d |
|- ( j = k -> ( ( A ^ j ) <_ ( A ^ M ) <-> ( A ^ k ) <_ ( A ^ M ) ) ) |
6 |
5
|
imbi2d |
|- ( j = k -> ( ( ( ( A e. RR /\ M e. NN0 ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ 1 ) ) -> ( A ^ j ) <_ ( A ^ M ) ) <-> ( ( ( A e. RR /\ M e. NN0 ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ 1 ) ) -> ( A ^ k ) <_ ( A ^ M ) ) ) ) |
7 |
|
oveq2 |
|- ( j = ( k + 1 ) -> ( A ^ j ) = ( A ^ ( k + 1 ) ) ) |
8 |
7
|
breq1d |
|- ( j = ( k + 1 ) -> ( ( A ^ j ) <_ ( A ^ M ) <-> ( A ^ ( k + 1 ) ) <_ ( A ^ M ) ) ) |
9 |
8
|
imbi2d |
|- ( j = ( k + 1 ) -> ( ( ( ( A e. RR /\ M e. NN0 ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ 1 ) ) -> ( A ^ j ) <_ ( A ^ M ) ) <-> ( ( ( A e. RR /\ M e. NN0 ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ 1 ) ) -> ( A ^ ( k + 1 ) ) <_ ( A ^ M ) ) ) ) |
10 |
|
oveq2 |
|- ( j = N -> ( A ^ j ) = ( A ^ N ) ) |
11 |
10
|
breq1d |
|- ( j = N -> ( ( A ^ j ) <_ ( A ^ M ) <-> ( A ^ N ) <_ ( A ^ M ) ) ) |
12 |
11
|
imbi2d |
|- ( j = N -> ( ( ( ( A e. RR /\ M e. NN0 ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ 1 ) ) -> ( A ^ j ) <_ ( A ^ M ) ) <-> ( ( ( A e. RR /\ M e. NN0 ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ 1 ) ) -> ( A ^ N ) <_ ( A ^ M ) ) ) ) |
13 |
|
reexpcl |
|- ( ( A e. RR /\ M e. NN0 ) -> ( A ^ M ) e. RR ) |
14 |
13
|
adantr |
|- ( ( ( A e. RR /\ M e. NN0 ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ 1 ) ) -> ( A ^ M ) e. RR ) |
15 |
14
|
leidd |
|- ( ( ( A e. RR /\ M e. NN0 ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ 1 ) ) -> ( A ^ M ) <_ ( A ^ M ) ) |
16 |
|
simprll |
|- ( ( k e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( ( A e. RR /\ M e. NN0 ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ 1 ) ) ) -> A e. RR ) |
17 |
|
1red |
|- ( ( k e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( ( A e. RR /\ M e. NN0 ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ 1 ) ) ) -> 1 e. RR ) |
18 |
|
simprlr |
|- ( ( k e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( ( A e. RR /\ M e. NN0 ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ 1 ) ) ) -> M e. NN0 ) |
19 |
|
simpl |
|- ( ( k e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( ( A e. RR /\ M e. NN0 ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ 1 ) ) ) -> k e. ( ZZ>= ` M ) ) |
20 |
|
eluznn0 |
|- ( ( M e. NN0 /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> k e. NN0 ) |
21 |
18 19 20
|
syl2anc |
|- ( ( k e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( ( A e. RR /\ M e. NN0 ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ 1 ) ) ) -> k e. NN0 ) |
22 |
|
reexpcl |
|- ( ( A e. RR /\ k e. NN0 ) -> ( A ^ k ) e. RR ) |
23 |
16 21 22
|
syl2anc |
|- ( ( k e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( ( A e. RR /\ M e. NN0 ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ 1 ) ) ) -> ( A ^ k ) e. RR ) |
24 |
|
simprrl |
|- ( ( k e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( ( A e. RR /\ M e. NN0 ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ 1 ) ) ) -> 0 <_ A ) |
25 |
|
expge0 |
|- ( ( A e. RR /\ k e. NN0 /\ 0 <_ A ) -> 0 <_ ( A ^ k ) ) |
26 |
16 21 24 25
|
syl3anc |
|- ( ( k e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( ( A e. RR /\ M e. NN0 ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ 1 ) ) ) -> 0 <_ ( A ^ k ) ) |
27 |
|
simprrr |
|- ( ( k e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( ( A e. RR /\ M e. NN0 ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ 1 ) ) ) -> A <_ 1 ) |
28 |
16 17 23 26 27
|
lemul2ad |
|- ( ( k e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( ( A e. RR /\ M e. NN0 ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ 1 ) ) ) -> ( ( A ^ k ) x. A ) <_ ( ( A ^ k ) x. 1 ) ) |
29 |
16
|
recnd |
|- ( ( k e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( ( A e. RR /\ M e. NN0 ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ 1 ) ) ) -> A e. CC ) |
30 |
|
expp1 |
|- ( ( A e. CC /\ k e. NN0 ) -> ( A ^ ( k + 1 ) ) = ( ( A ^ k ) x. A ) ) |
31 |
29 21 30
|
syl2anc |
|- ( ( k e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( ( A e. RR /\ M e. NN0 ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ 1 ) ) ) -> ( A ^ ( k + 1 ) ) = ( ( A ^ k ) x. A ) ) |
32 |
23
|
recnd |
|- ( ( k e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( ( A e. RR /\ M e. NN0 ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ 1 ) ) ) -> ( A ^ k ) e. CC ) |
33 |
32
|
mulid1d |
|- ( ( k e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( ( A e. RR /\ M e. NN0 ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ 1 ) ) ) -> ( ( A ^ k ) x. 1 ) = ( A ^ k ) ) |
34 |
33
|
eqcomd |
|- ( ( k e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( ( A e. RR /\ M e. NN0 ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ 1 ) ) ) -> ( A ^ k ) = ( ( A ^ k ) x. 1 ) ) |
35 |
28 31 34
|
3brtr4d |
|- ( ( k e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( ( A e. RR /\ M e. NN0 ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ 1 ) ) ) -> ( A ^ ( k + 1 ) ) <_ ( A ^ k ) ) |
36 |
|
peano2nn0 |
|- ( k e. NN0 -> ( k + 1 ) e. NN0 ) |
37 |
21 36
|
syl |
|- ( ( k e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( ( A e. RR /\ M e. NN0 ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ 1 ) ) ) -> ( k + 1 ) e. NN0 ) |
38 |
|
reexpcl |
|- ( ( A e. RR /\ ( k + 1 ) e. NN0 ) -> ( A ^ ( k + 1 ) ) e. RR ) |
39 |
16 37 38
|
syl2anc |
|- ( ( k e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( ( A e. RR /\ M e. NN0 ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ 1 ) ) ) -> ( A ^ ( k + 1 ) ) e. RR ) |
40 |
13
|
ad2antrl |
|- ( ( k e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( ( A e. RR /\ M e. NN0 ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ 1 ) ) ) -> ( A ^ M ) e. RR ) |
41 |
|
letr |
|- ( ( ( A ^ ( k + 1 ) ) e. RR /\ ( A ^ k ) e. RR /\ ( A ^ M ) e. RR ) -> ( ( ( A ^ ( k + 1 ) ) <_ ( A ^ k ) /\ ( A ^ k ) <_ ( A ^ M ) ) -> ( A ^ ( k + 1 ) ) <_ ( A ^ M ) ) ) |
42 |
39 23 40 41
|
syl3anc |
|- ( ( k e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( ( A e. RR /\ M e. NN0 ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ 1 ) ) ) -> ( ( ( A ^ ( k + 1 ) ) <_ ( A ^ k ) /\ ( A ^ k ) <_ ( A ^ M ) ) -> ( A ^ ( k + 1 ) ) <_ ( A ^ M ) ) ) |
43 |
35 42
|
mpand |
|- ( ( k e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( ( A e. RR /\ M e. NN0 ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ 1 ) ) ) -> ( ( A ^ k ) <_ ( A ^ M ) -> ( A ^ ( k + 1 ) ) <_ ( A ^ M ) ) ) |
44 |
43
|
ex |
|- ( k e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ( ( A e. RR /\ M e. NN0 ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ 1 ) ) -> ( ( A ^ k ) <_ ( A ^ M ) -> ( A ^ ( k + 1 ) ) <_ ( A ^ M ) ) ) ) |
45 |
44
|
a2d |
|- ( k e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ( ( ( A e. RR /\ M e. NN0 ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ 1 ) ) -> ( A ^ k ) <_ ( A ^ M ) ) -> ( ( ( A e. RR /\ M e. NN0 ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ 1 ) ) -> ( A ^ ( k + 1 ) ) <_ ( A ^ M ) ) ) ) |
46 |
3 6 9 12 15 45
|
uzind4i |
|- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ( ( A e. RR /\ M e. NN0 ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ 1 ) ) -> ( A ^ N ) <_ ( A ^ M ) ) ) |
47 |
46
|
expd |
|- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ( A e. RR /\ M e. NN0 ) -> ( ( 0 <_ A /\ A <_ 1 ) -> ( A ^ N ) <_ ( A ^ M ) ) ) ) |
48 |
47
|
com12 |
|- ( ( A e. RR /\ M e. NN0 ) -> ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ( 0 <_ A /\ A <_ 1 ) -> ( A ^ N ) <_ ( A ^ M ) ) ) ) |
49 |
48
|
3impia |
|- ( ( A e. RR /\ M e. NN0 /\ N e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( 0 <_ A /\ A <_ 1 ) -> ( A ^ N ) <_ ( A ^ M ) ) ) |
50 |
49
|
imp |
|- ( ( ( A e. RR /\ M e. NN0 /\ N e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ 1 ) ) -> ( A ^ N ) <_ ( A ^ M ) ) |