Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
oveq2 |
|- ( j = 0 -> ( A ^ j ) = ( A ^ 0 ) ) |
2 |
|
oveq2 |
|- ( j = 0 -> ( B ^ j ) = ( B ^ 0 ) ) |
3 |
1 2
|
breq12d |
|- ( j = 0 -> ( ( A ^ j ) <_ ( B ^ j ) <-> ( A ^ 0 ) <_ ( B ^ 0 ) ) ) |
4 |
3
|
imbi2d |
|- ( j = 0 -> ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ B ) ) -> ( A ^ j ) <_ ( B ^ j ) ) <-> ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ B ) ) -> ( A ^ 0 ) <_ ( B ^ 0 ) ) ) ) |
5 |
|
oveq2 |
|- ( j = k -> ( A ^ j ) = ( A ^ k ) ) |
6 |
|
oveq2 |
|- ( j = k -> ( B ^ j ) = ( B ^ k ) ) |
7 |
5 6
|
breq12d |
|- ( j = k -> ( ( A ^ j ) <_ ( B ^ j ) <-> ( A ^ k ) <_ ( B ^ k ) ) ) |
8 |
7
|
imbi2d |
|- ( j = k -> ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ B ) ) -> ( A ^ j ) <_ ( B ^ j ) ) <-> ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ B ) ) -> ( A ^ k ) <_ ( B ^ k ) ) ) ) |
9 |
|
oveq2 |
|- ( j = ( k + 1 ) -> ( A ^ j ) = ( A ^ ( k + 1 ) ) ) |
10 |
|
oveq2 |
|- ( j = ( k + 1 ) -> ( B ^ j ) = ( B ^ ( k + 1 ) ) ) |
11 |
9 10
|
breq12d |
|- ( j = ( k + 1 ) -> ( ( A ^ j ) <_ ( B ^ j ) <-> ( A ^ ( k + 1 ) ) <_ ( B ^ ( k + 1 ) ) ) ) |
12 |
11
|
imbi2d |
|- ( j = ( k + 1 ) -> ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ B ) ) -> ( A ^ j ) <_ ( B ^ j ) ) <-> ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ B ) ) -> ( A ^ ( k + 1 ) ) <_ ( B ^ ( k + 1 ) ) ) ) ) |
13 |
|
oveq2 |
|- ( j = N -> ( A ^ j ) = ( A ^ N ) ) |
14 |
|
oveq2 |
|- ( j = N -> ( B ^ j ) = ( B ^ N ) ) |
15 |
13 14
|
breq12d |
|- ( j = N -> ( ( A ^ j ) <_ ( B ^ j ) <-> ( A ^ N ) <_ ( B ^ N ) ) ) |
16 |
15
|
imbi2d |
|- ( j = N -> ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ B ) ) -> ( A ^ j ) <_ ( B ^ j ) ) <-> ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ B ) ) -> ( A ^ N ) <_ ( B ^ N ) ) ) ) |
17 |
|
recn |
|- ( A e. RR -> A e. CC ) |
18 |
|
recn |
|- ( B e. RR -> B e. CC ) |
19 |
|
exp0 |
|- ( A e. CC -> ( A ^ 0 ) = 1 ) |
20 |
19
|
adantr |
|- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A ^ 0 ) = 1 ) |
21 |
|
1le1 |
|- 1 <_ 1 |
22 |
20 21
|
eqbrtrdi |
|- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A ^ 0 ) <_ 1 ) |
23 |
|
exp0 |
|- ( B e. CC -> ( B ^ 0 ) = 1 ) |
24 |
23
|
adantl |
|- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( B ^ 0 ) = 1 ) |
25 |
22 24
|
breqtrrd |
|- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A ^ 0 ) <_ ( B ^ 0 ) ) |
26 |
17 18 25
|
syl2an |
|- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A ^ 0 ) <_ ( B ^ 0 ) ) |
27 |
26
|
adantr |
|- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ B ) ) -> ( A ^ 0 ) <_ ( B ^ 0 ) ) |
28 |
|
reexpcl |
|- ( ( A e. RR /\ k e. NN0 ) -> ( A ^ k ) e. RR ) |
29 |
28
|
ad4ant14 |
|- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ B ) ) /\ k e. NN0 ) -> ( A ^ k ) e. RR ) |
30 |
|
simplll |
|- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ B ) ) /\ k e. NN0 ) -> A e. RR ) |
31 |
|
simpr |
|- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ B ) ) /\ k e. NN0 ) -> k e. NN0 ) |
32 |
|
simplrl |
|- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ B ) ) /\ k e. NN0 ) -> 0 <_ A ) |
33 |
|
expge0 |
|- ( ( A e. RR /\ k e. NN0 /\ 0 <_ A ) -> 0 <_ ( A ^ k ) ) |
34 |
30 31 32 33
|
syl3anc |
|- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ B ) ) /\ k e. NN0 ) -> 0 <_ ( A ^ k ) ) |
35 |
|
reexpcl |
|- ( ( B e. RR /\ k e. NN0 ) -> ( B ^ k ) e. RR ) |
36 |
35
|
ad4ant24 |
|- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ B ) ) /\ k e. NN0 ) -> ( B ^ k ) e. RR ) |
37 |
29 34 36
|
jca31 |
|- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ B ) ) /\ k e. NN0 ) -> ( ( ( A ^ k ) e. RR /\ 0 <_ ( A ^ k ) ) /\ ( B ^ k ) e. RR ) ) |
38 |
|
simpl |
|- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> A e. RR ) |
39 |
|
simpl |
|- ( ( 0 <_ A /\ A <_ B ) -> 0 <_ A ) |
40 |
38 39
|
anim12i |
|- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ B ) ) -> ( A e. RR /\ 0 <_ A ) ) |
41 |
40
|
adantr |
|- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ B ) ) /\ k e. NN0 ) -> ( A e. RR /\ 0 <_ A ) ) |
42 |
|
simpllr |
|- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ B ) ) /\ k e. NN0 ) -> B e. RR ) |
43 |
37 41 42
|
jca32 |
|- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ B ) ) /\ k e. NN0 ) -> ( ( ( ( A ^ k ) e. RR /\ 0 <_ ( A ^ k ) ) /\ ( B ^ k ) e. RR ) /\ ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ B e. RR ) ) ) |
44 |
43
|
adantr |
|- ( ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ B ) ) /\ k e. NN0 ) /\ ( A ^ k ) <_ ( B ^ k ) ) -> ( ( ( ( A ^ k ) e. RR /\ 0 <_ ( A ^ k ) ) /\ ( B ^ k ) e. RR ) /\ ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ B e. RR ) ) ) |
45 |
|
simplrr |
|- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ B ) ) /\ k e. NN0 ) -> A <_ B ) |
46 |
45
|
anim1ci |
|- ( ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ B ) ) /\ k e. NN0 ) /\ ( A ^ k ) <_ ( B ^ k ) ) -> ( ( A ^ k ) <_ ( B ^ k ) /\ A <_ B ) ) |
47 |
|
lemul12a |
|- ( ( ( ( ( A ^ k ) e. RR /\ 0 <_ ( A ^ k ) ) /\ ( B ^ k ) e. RR ) /\ ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ B e. RR ) ) -> ( ( ( A ^ k ) <_ ( B ^ k ) /\ A <_ B ) -> ( ( A ^ k ) x. A ) <_ ( ( B ^ k ) x. B ) ) ) |
48 |
44 46 47
|
sylc |
|- ( ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ B ) ) /\ k e. NN0 ) /\ ( A ^ k ) <_ ( B ^ k ) ) -> ( ( A ^ k ) x. A ) <_ ( ( B ^ k ) x. B ) ) |
49 |
|
expp1 |
|- ( ( A e. CC /\ k e. NN0 ) -> ( A ^ ( k + 1 ) ) = ( ( A ^ k ) x. A ) ) |
50 |
17 49
|
sylan |
|- ( ( A e. RR /\ k e. NN0 ) -> ( A ^ ( k + 1 ) ) = ( ( A ^ k ) x. A ) ) |
51 |
50
|
ad5ant14 |
|- ( ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ B ) ) /\ k e. NN0 ) /\ ( A ^ k ) <_ ( B ^ k ) ) -> ( A ^ ( k + 1 ) ) = ( ( A ^ k ) x. A ) ) |
52 |
|
expp1 |
|- ( ( B e. CC /\ k e. NN0 ) -> ( B ^ ( k + 1 ) ) = ( ( B ^ k ) x. B ) ) |
53 |
18 52
|
sylan |
|- ( ( B e. RR /\ k e. NN0 ) -> ( B ^ ( k + 1 ) ) = ( ( B ^ k ) x. B ) ) |
54 |
53
|
ad5ant24 |
|- ( ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ B ) ) /\ k e. NN0 ) /\ ( A ^ k ) <_ ( B ^ k ) ) -> ( B ^ ( k + 1 ) ) = ( ( B ^ k ) x. B ) ) |
55 |
48 51 54
|
3brtr4d |
|- ( ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ B ) ) /\ k e. NN0 ) /\ ( A ^ k ) <_ ( B ^ k ) ) -> ( A ^ ( k + 1 ) ) <_ ( B ^ ( k + 1 ) ) ) |
56 |
55
|
ex |
|- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ B ) ) /\ k e. NN0 ) -> ( ( A ^ k ) <_ ( B ^ k ) -> ( A ^ ( k + 1 ) ) <_ ( B ^ ( k + 1 ) ) ) ) |
57 |
56
|
expcom |
|- ( k e. NN0 -> ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ B ) ) -> ( ( A ^ k ) <_ ( B ^ k ) -> ( A ^ ( k + 1 ) ) <_ ( B ^ ( k + 1 ) ) ) ) ) |
58 |
57
|
a2d |
|- ( k e. NN0 -> ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ B ) ) -> ( A ^ k ) <_ ( B ^ k ) ) -> ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ B ) ) -> ( A ^ ( k + 1 ) ) <_ ( B ^ ( k + 1 ) ) ) ) ) |
59 |
4 8 12 16 27 58
|
nn0ind |
|- ( N e. NN0 -> ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ B ) ) -> ( A ^ N ) <_ ( B ^ N ) ) ) |
60 |
59
|
exp4c |
|- ( N e. NN0 -> ( A e. RR -> ( B e. RR -> ( ( 0 <_ A /\ A <_ B ) -> ( A ^ N ) <_ ( B ^ N ) ) ) ) ) |
61 |
60
|
com3l |
|- ( A e. RR -> ( B e. RR -> ( N e. NN0 -> ( ( 0 <_ A /\ A <_ B ) -> ( A ^ N ) <_ ( B ^ N ) ) ) ) ) |
62 |
61
|
3imp1 |
|- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ N e. NN0 ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ B ) ) -> ( A ^ N ) <_ ( B ^ N ) ) |