Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
eqid |
|- U. A = U. A |
2 |
|
eqid |
|- U. B = U. B |
3 |
1 2
|
fnebas |
|- ( A Fne B -> U. A = U. B ) |
4 |
|
eqid |
|- U. C = U. C |
5 |
2 4
|
fnebas |
|- ( B Fne C -> U. B = U. C ) |
6 |
3 5
|
sylan9eq |
|- ( ( A Fne B /\ B Fne C ) -> U. A = U. C ) |
7 |
|
fnerel |
|- Rel Fne |
8 |
7
|
brrelex2i |
|- ( A Fne B -> B e. _V ) |
9 |
1 2
|
isfne4b |
|- ( B e. _V -> ( A Fne B <-> ( U. A = U. B /\ ( topGen ` A ) C_ ( topGen ` B ) ) ) ) |
10 |
9
|
simplbda |
|- ( ( B e. _V /\ A Fne B ) -> ( topGen ` A ) C_ ( topGen ` B ) ) |
11 |
8 10
|
mpancom |
|- ( A Fne B -> ( topGen ` A ) C_ ( topGen ` B ) ) |
12 |
7
|
brrelex2i |
|- ( B Fne C -> C e. _V ) |
13 |
2 4
|
isfne4b |
|- ( C e. _V -> ( B Fne C <-> ( U. B = U. C /\ ( topGen ` B ) C_ ( topGen ` C ) ) ) ) |
14 |
13
|
simplbda |
|- ( ( C e. _V /\ B Fne C ) -> ( topGen ` B ) C_ ( topGen ` C ) ) |
15 |
12 14
|
mpancom |
|- ( B Fne C -> ( topGen ` B ) C_ ( topGen ` C ) ) |
16 |
11 15
|
sylan9ss |
|- ( ( A Fne B /\ B Fne C ) -> ( topGen ` A ) C_ ( topGen ` C ) ) |
17 |
12
|
adantl |
|- ( ( A Fne B /\ B Fne C ) -> C e. _V ) |
18 |
1 4
|
isfne4b |
|- ( C e. _V -> ( A Fne C <-> ( U. A = U. C /\ ( topGen ` A ) C_ ( topGen ` C ) ) ) ) |
19 |
17 18
|
syl |
|- ( ( A Fne B /\ B Fne C ) -> ( A Fne C <-> ( U. A = U. C /\ ( topGen ` A ) C_ ( topGen ` C ) ) ) ) |
20 |
6 16 19
|
mpbir2and |
|- ( ( A Fne B /\ B Fne C ) -> A Fne C ) |