Theorem frege109

Description: The property of belonging to the R -sequence beginning with X is hereditary in the R -sequence. Proposition 109 of Frege1879 p. 74. (Contributed by RP, 7-Jul-2020) (Proof modification is discouraged.)

	Ref	Expression
Hypotheses	frege109.x	|- X e. U
	frege109.r	|- R e. V
Assertion	frege109	|- R hereditary ( ( ( t+ ` R ) u. _I ) " { X } )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frege109.x	|- X e. U
2		frege109.r	|- R e. V
3		frege75	|- ( A. y ( y e. ( ( ( t+ ` R ) u. _I ) " { X } ) -> A. z ( y R z -> z e. ( ( ( t+ ` R ) u. _I ) " { X } ) ) ) -> R hereditary ( ( ( t+ ` R ) u. _I ) " { X } ) )
4		vex	|- y e. _V
5		vex	|- z e. _V
6	1 4 5 2	frege108	|- ( X ( ( t+ ` R ) u. _I ) y -> ( y R z -> X ( ( t+ ` R ) u. _I ) z ) )
7		df-br	|- ( X ( ( t+ ` R ) u. _I ) y <-> <. X , y >. e. ( ( t+ ` R ) u. _I ) )
8	1	elexi	|- X e. _V
9	8 4	elimasn	|- ( y e. ( ( ( t+ ` R ) u. _I ) " { X } ) <-> <. X , y >. e. ( ( t+ ` R ) u. _I ) )
10	7 9	bitr4i	|- ( X ( ( t+ ` R ) u. _I ) y <-> y e. ( ( ( t+ ` R ) u. _I ) " { X } ) )
11		df-br	|- ( X ( ( t+ ` R ) u. _I ) z <-> <. X , z >. e. ( ( t+ ` R ) u. _I ) )
12	8 5	elimasn	|- ( z e. ( ( ( t+ ` R ) u. _I ) " { X } ) <-> <. X , z >. e. ( ( t+ ` R ) u. _I ) )
13	11 12	bitr4i	|- ( X ( ( t+ ` R ) u. _I ) z <-> z e. ( ( ( t+ ` R ) u. _I ) " { X } ) )
14	13	imbi2i	|- ( ( y R z -> X ( ( t+ ` R ) u. _I ) z ) <-> ( y R z -> z e. ( ( ( t+ ` R ) u. _I ) " { X } ) ) )
15	6 10 14	3imtr3i	|- ( y e. ( ( ( t+ ` R ) u. _I ) " { X } ) -> ( y R z -> z e. ( ( ( t+ ` R ) u. _I ) " { X } ) ) )
16	15	alrimiv	|- ( y e. ( ( ( t+ ` R ) u. _I ) " { X } ) -> A. z ( y R z -> z e. ( ( ( t+ ` R ) u. _I ) " { X } ) ) )
17	3 16	mpg	|- R hereditary ( ( ( t+ ` R ) u. _I ) " { X } )