Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
fsovd.fs |
|- O = ( a e. _V , b e. _V |-> ( f e. ( ~P b ^m a ) |-> ( y e. b |-> { x e. a | y e. ( f ` x ) } ) ) ) |
2 |
|
fsovd.a |
|- ( ph -> A e. V ) |
3 |
|
fsovd.b |
|- ( ph -> B e. W ) |
4 |
|
fsovfvd.g |
|- G = ( A O B ) |
5 |
|
fsovfvd.f |
|- ( ph -> F e. ( ~P B ^m A ) ) |
6 |
1 2 3
|
fsovd |
|- ( ph -> ( A O B ) = ( f e. ( ~P B ^m A ) |-> ( y e. B |-> { x e. A | y e. ( f ` x ) } ) ) ) |
7 |
4 6
|
syl5eq |
|- ( ph -> G = ( f e. ( ~P B ^m A ) |-> ( y e. B |-> { x e. A | y e. ( f ` x ) } ) ) ) |
8 |
|
fveq1 |
|- ( f = F -> ( f ` x ) = ( F ` x ) ) |
9 |
8
|
eleq2d |
|- ( f = F -> ( y e. ( f ` x ) <-> y e. ( F ` x ) ) ) |
10 |
9
|
rabbidv |
|- ( f = F -> { x e. A | y e. ( f ` x ) } = { x e. A | y e. ( F ` x ) } ) |
11 |
10
|
mpteq2dv |
|- ( f = F -> ( y e. B |-> { x e. A | y e. ( f ` x ) } ) = ( y e. B |-> { x e. A | y e. ( F ` x ) } ) ) |
12 |
11
|
adantl |
|- ( ( ph /\ f = F ) -> ( y e. B |-> { x e. A | y e. ( f ` x ) } ) = ( y e. B |-> { x e. A | y e. ( F ` x ) } ) ) |
13 |
3
|
mptexd |
|- ( ph -> ( y e. B |-> { x e. A | y e. ( F ` x ) } ) e. _V ) |
14 |
7 12 5 13
|
fvmptd |
|- ( ph -> ( G ` F ) = ( y e. B |-> { x e. A | y e. ( F ` x ) } ) ) |