Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
c0ex |
|- 0 e. _V |
2 |
|
1ex |
|- 1 e. _V |
3 |
1 2
|
pm3.2i |
|- ( 0 e. _V /\ 1 e. _V ) |
4 |
|
2ex |
|- 2 e. _V |
5 |
|
3ex |
|- 3 e. _V |
6 |
4 5
|
pm3.2i |
|- ( 2 e. _V /\ 3 e. _V ) |
7 |
3 6
|
pm3.2i |
|- ( ( 0 e. _V /\ 1 e. _V ) /\ ( 2 e. _V /\ 3 e. _V ) ) |
8 |
7
|
a1i |
|- ( ( ( A e. V /\ B e. V ) /\ ( C e. V /\ D e. V ) ) -> ( ( 0 e. _V /\ 1 e. _V ) /\ ( 2 e. _V /\ 3 e. _V ) ) ) |
9 |
|
funcnvqp |
|- ( ( ( ( 0 e. _V /\ 1 e. _V ) /\ ( 2 e. _V /\ 3 e. _V ) ) /\ ( ( A =/= B /\ A =/= C /\ A =/= D ) /\ ( B =/= C /\ B =/= D ) /\ C =/= D ) ) -> Fun `' ( { <. 0 , A >. , <. 1 , B >. } u. { <. 2 , C >. , <. 3 , D >. } ) ) |
10 |
8 9
|
sylan |
|- ( ( ( ( A e. V /\ B e. V ) /\ ( C e. V /\ D e. V ) ) /\ ( ( A =/= B /\ A =/= C /\ A =/= D ) /\ ( B =/= C /\ B =/= D ) /\ C =/= D ) ) -> Fun `' ( { <. 0 , A >. , <. 1 , B >. } u. { <. 2 , C >. , <. 3 , D >. } ) ) |
11 |
|
s4prop |
|- ( ( ( A e. V /\ B e. V ) /\ ( C e. V /\ D e. V ) ) -> <" A B C D "> = ( { <. 0 , A >. , <. 1 , B >. } u. { <. 2 , C >. , <. 3 , D >. } ) ) |
12 |
11
|
adantr |
|- ( ( ( ( A e. V /\ B e. V ) /\ ( C e. V /\ D e. V ) ) /\ ( ( A =/= B /\ A =/= C /\ A =/= D ) /\ ( B =/= C /\ B =/= D ) /\ C =/= D ) ) -> <" A B C D "> = ( { <. 0 , A >. , <. 1 , B >. } u. { <. 2 , C >. , <. 3 , D >. } ) ) |
13 |
12
|
cnveqd |
|- ( ( ( ( A e. V /\ B e. V ) /\ ( C e. V /\ D e. V ) ) /\ ( ( A =/= B /\ A =/= C /\ A =/= D ) /\ ( B =/= C /\ B =/= D ) /\ C =/= D ) ) -> `' <" A B C D "> = `' ( { <. 0 , A >. , <. 1 , B >. } u. { <. 2 , C >. , <. 3 , D >. } ) ) |
14 |
13
|
funeqd |
|- ( ( ( ( A e. V /\ B e. V ) /\ ( C e. V /\ D e. V ) ) /\ ( ( A =/= B /\ A =/= C /\ A =/= D ) /\ ( B =/= C /\ B =/= D ) /\ C =/= D ) ) -> ( Fun `' <" A B C D "> <-> Fun `' ( { <. 0 , A >. , <. 1 , B >. } u. { <. 2 , C >. , <. 3 , D >. } ) ) ) |
15 |
10 14
|
mpbird |
|- ( ( ( ( A e. V /\ B e. V ) /\ ( C e. V /\ D e. V ) ) /\ ( ( A =/= B /\ A =/= C /\ A =/= D ) /\ ( B =/= C /\ B =/= D ) /\ C =/= D ) ) -> Fun `' <" A B C D "> ) |