Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
funcnvpr |
|- ( ( A e. U /\ C e. V /\ B =/= D ) -> Fun `' { <. A , B >. , <. C , D >. } ) |
2 |
1
|
3expa |
|- ( ( ( A e. U /\ C e. V ) /\ B =/= D ) -> Fun `' { <. A , B >. , <. C , D >. } ) |
3 |
2
|
3ad2antr1 |
|- ( ( ( A e. U /\ C e. V ) /\ ( B =/= D /\ B =/= F /\ B =/= H ) ) -> Fun `' { <. A , B >. , <. C , D >. } ) |
4 |
3
|
ad2ant2r |
|- ( ( ( ( A e. U /\ C e. V ) /\ ( E e. W /\ G e. T ) ) /\ ( ( B =/= D /\ B =/= F /\ B =/= H ) /\ F =/= H ) ) -> Fun `' { <. A , B >. , <. C , D >. } ) |
5 |
4
|
3adantr2 |
|- ( ( ( ( A e. U /\ C e. V ) /\ ( E e. W /\ G e. T ) ) /\ ( ( B =/= D /\ B =/= F /\ B =/= H ) /\ ( D =/= F /\ D =/= H ) /\ F =/= H ) ) -> Fun `' { <. A , B >. , <. C , D >. } ) |
6 |
|
funcnvpr |
|- ( ( E e. W /\ G e. T /\ F =/= H ) -> Fun `' { <. E , F >. , <. G , H >. } ) |
7 |
6
|
3expa |
|- ( ( ( E e. W /\ G e. T ) /\ F =/= H ) -> Fun `' { <. E , F >. , <. G , H >. } ) |
8 |
7
|
ad2ant2l |
|- ( ( ( ( A e. U /\ C e. V ) /\ ( E e. W /\ G e. T ) ) /\ ( ( B =/= D /\ B =/= F /\ B =/= H ) /\ F =/= H ) ) -> Fun `' { <. E , F >. , <. G , H >. } ) |
9 |
8
|
3adantr2 |
|- ( ( ( ( A e. U /\ C e. V ) /\ ( E e. W /\ G e. T ) ) /\ ( ( B =/= D /\ B =/= F /\ B =/= H ) /\ ( D =/= F /\ D =/= H ) /\ F =/= H ) ) -> Fun `' { <. E , F >. , <. G , H >. } ) |
10 |
|
df-rn |
|- ran { <. A , B >. , <. C , D >. } = dom `' { <. A , B >. , <. C , D >. } |
11 |
|
rnpropg |
|- ( ( A e. U /\ C e. V ) -> ran { <. A , B >. , <. C , D >. } = { B , D } ) |
12 |
10 11
|
syl5eqr |
|- ( ( A e. U /\ C e. V ) -> dom `' { <. A , B >. , <. C , D >. } = { B , D } ) |
13 |
|
df-rn |
|- ran { <. E , F >. , <. G , H >. } = dom `' { <. E , F >. , <. G , H >. } |
14 |
|
rnpropg |
|- ( ( E e. W /\ G e. T ) -> ran { <. E , F >. , <. G , H >. } = { F , H } ) |
15 |
13 14
|
syl5eqr |
|- ( ( E e. W /\ G e. T ) -> dom `' { <. E , F >. , <. G , H >. } = { F , H } ) |
16 |
12 15
|
ineqan12d |
|- ( ( ( A e. U /\ C e. V ) /\ ( E e. W /\ G e. T ) ) -> ( dom `' { <. A , B >. , <. C , D >. } i^i dom `' { <. E , F >. , <. G , H >. } ) = ( { B , D } i^i { F , H } ) ) |
17 |
|
disjpr2 |
|- ( ( ( B =/= F /\ D =/= F ) /\ ( B =/= H /\ D =/= H ) ) -> ( { B , D } i^i { F , H } ) = (/) ) |
18 |
17
|
an4s |
|- ( ( ( B =/= F /\ B =/= H ) /\ ( D =/= F /\ D =/= H ) ) -> ( { B , D } i^i { F , H } ) = (/) ) |
19 |
18
|
3adantl1 |
|- ( ( ( B =/= D /\ B =/= F /\ B =/= H ) /\ ( D =/= F /\ D =/= H ) ) -> ( { B , D } i^i { F , H } ) = (/) ) |
20 |
19
|
3adant3 |
|- ( ( ( B =/= D /\ B =/= F /\ B =/= H ) /\ ( D =/= F /\ D =/= H ) /\ F =/= H ) -> ( { B , D } i^i { F , H } ) = (/) ) |
21 |
16 20
|
sylan9eq |
|- ( ( ( ( A e. U /\ C e. V ) /\ ( E e. W /\ G e. T ) ) /\ ( ( B =/= D /\ B =/= F /\ B =/= H ) /\ ( D =/= F /\ D =/= H ) /\ F =/= H ) ) -> ( dom `' { <. A , B >. , <. C , D >. } i^i dom `' { <. E , F >. , <. G , H >. } ) = (/) ) |
22 |
|
funun |
|- ( ( ( Fun `' { <. A , B >. , <. C , D >. } /\ Fun `' { <. E , F >. , <. G , H >. } ) /\ ( dom `' { <. A , B >. , <. C , D >. } i^i dom `' { <. E , F >. , <. G , H >. } ) = (/) ) -> Fun ( `' { <. A , B >. , <. C , D >. } u. `' { <. E , F >. , <. G , H >. } ) ) |
23 |
5 9 21 22
|
syl21anc |
|- ( ( ( ( A e. U /\ C e. V ) /\ ( E e. W /\ G e. T ) ) /\ ( ( B =/= D /\ B =/= F /\ B =/= H ) /\ ( D =/= F /\ D =/= H ) /\ F =/= H ) ) -> Fun ( `' { <. A , B >. , <. C , D >. } u. `' { <. E , F >. , <. G , H >. } ) ) |
24 |
|
cnvun |
|- `' ( { <. A , B >. , <. C , D >. } u. { <. E , F >. , <. G , H >. } ) = ( `' { <. A , B >. , <. C , D >. } u. `' { <. E , F >. , <. G , H >. } ) |
25 |
24
|
funeqi |
|- ( Fun `' ( { <. A , B >. , <. C , D >. } u. { <. E , F >. , <. G , H >. } ) <-> Fun ( `' { <. A , B >. , <. C , D >. } u. `' { <. E , F >. , <. G , H >. } ) ) |
26 |
23 25
|
sylibr |
|- ( ( ( ( A e. U /\ C e. V ) /\ ( E e. W /\ G e. T ) ) /\ ( ( B =/= D /\ B =/= F /\ B =/= H ) /\ ( D =/= F /\ D =/= H ) /\ F =/= H ) ) -> Fun `' ( { <. A , B >. , <. C , D >. } u. { <. E , F >. , <. G , H >. } ) ) |