Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
funrel |
|- ( Fun F -> Rel F ) |
2 |
|
funrel |
|- ( Fun G -> Rel G ) |
3 |
1 2
|
anim12i |
|- ( ( Fun F /\ Fun G ) -> ( Rel F /\ Rel G ) ) |
4 |
|
relun |
|- ( Rel ( F u. G ) <-> ( Rel F /\ Rel G ) ) |
5 |
3 4
|
sylibr |
|- ( ( Fun F /\ Fun G ) -> Rel ( F u. G ) ) |
6 |
5
|
adantr |
|- ( ( ( Fun F /\ Fun G ) /\ ( dom F i^i dom G ) = (/) ) -> Rel ( F u. G ) ) |
7 |
|
elun |
|- ( <. x , y >. e. ( F u. G ) <-> ( <. x , y >. e. F \/ <. x , y >. e. G ) ) |
8 |
|
elun |
|- ( <. x , z >. e. ( F u. G ) <-> ( <. x , z >. e. F \/ <. x , z >. e. G ) ) |
9 |
7 8
|
anbi12i |
|- ( ( <. x , y >. e. ( F u. G ) /\ <. x , z >. e. ( F u. G ) ) <-> ( ( <. x , y >. e. F \/ <. x , y >. e. G ) /\ ( <. x , z >. e. F \/ <. x , z >. e. G ) ) ) |
10 |
|
anddi |
|- ( ( ( <. x , y >. e. F \/ <. x , y >. e. G ) /\ ( <. x , z >. e. F \/ <. x , z >. e. G ) ) <-> ( ( ( <. x , y >. e. F /\ <. x , z >. e. F ) \/ ( <. x , y >. e. F /\ <. x , z >. e. G ) ) \/ ( ( <. x , y >. e. G /\ <. x , z >. e. F ) \/ ( <. x , y >. e. G /\ <. x , z >. e. G ) ) ) ) |
11 |
9 10
|
bitri |
|- ( ( <. x , y >. e. ( F u. G ) /\ <. x , z >. e. ( F u. G ) ) <-> ( ( ( <. x , y >. e. F /\ <. x , z >. e. F ) \/ ( <. x , y >. e. F /\ <. x , z >. e. G ) ) \/ ( ( <. x , y >. e. G /\ <. x , z >. e. F ) \/ ( <. x , y >. e. G /\ <. x , z >. e. G ) ) ) ) |
12 |
|
disj1 |
|- ( ( dom F i^i dom G ) = (/) <-> A. x ( x e. dom F -> -. x e. dom G ) ) |
13 |
12
|
biimpi |
|- ( ( dom F i^i dom G ) = (/) -> A. x ( x e. dom F -> -. x e. dom G ) ) |
14 |
13
|
19.21bi |
|- ( ( dom F i^i dom G ) = (/) -> ( x e. dom F -> -. x e. dom G ) ) |
15 |
|
imnan |
|- ( ( x e. dom F -> -. x e. dom G ) <-> -. ( x e. dom F /\ x e. dom G ) ) |
16 |
14 15
|
sylib |
|- ( ( dom F i^i dom G ) = (/) -> -. ( x e. dom F /\ x e. dom G ) ) |
17 |
|
vex |
|- x e. _V |
18 |
|
vex |
|- y e. _V |
19 |
17 18
|
opeldm |
|- ( <. x , y >. e. F -> x e. dom F ) |
20 |
|
vex |
|- z e. _V |
21 |
17 20
|
opeldm |
|- ( <. x , z >. e. G -> x e. dom G ) |
22 |
19 21
|
anim12i |
|- ( ( <. x , y >. e. F /\ <. x , z >. e. G ) -> ( x e. dom F /\ x e. dom G ) ) |
23 |
16 22
|
nsyl |
|- ( ( dom F i^i dom G ) = (/) -> -. ( <. x , y >. e. F /\ <. x , z >. e. G ) ) |
24 |
|
orel2 |
|- ( -. ( <. x , y >. e. F /\ <. x , z >. e. G ) -> ( ( ( <. x , y >. e. F /\ <. x , z >. e. F ) \/ ( <. x , y >. e. F /\ <. x , z >. e. G ) ) -> ( <. x , y >. e. F /\ <. x , z >. e. F ) ) ) |
25 |
23 24
|
syl |
|- ( ( dom F i^i dom G ) = (/) -> ( ( ( <. x , y >. e. F /\ <. x , z >. e. F ) \/ ( <. x , y >. e. F /\ <. x , z >. e. G ) ) -> ( <. x , y >. e. F /\ <. x , z >. e. F ) ) ) |
26 |
14
|
con2d |
|- ( ( dom F i^i dom G ) = (/) -> ( x e. dom G -> -. x e. dom F ) ) |
27 |
|
imnan |
|- ( ( x e. dom G -> -. x e. dom F ) <-> -. ( x e. dom G /\ x e. dom F ) ) |
28 |
26 27
|
sylib |
|- ( ( dom F i^i dom G ) = (/) -> -. ( x e. dom G /\ x e. dom F ) ) |
29 |
17 18
|
opeldm |
|- ( <. x , y >. e. G -> x e. dom G ) |
30 |
17 20
|
opeldm |
|- ( <. x , z >. e. F -> x e. dom F ) |
31 |
29 30
|
anim12i |
|- ( ( <. x , y >. e. G /\ <. x , z >. e. F ) -> ( x e. dom G /\ x e. dom F ) ) |
32 |
28 31
|
nsyl |
|- ( ( dom F i^i dom G ) = (/) -> -. ( <. x , y >. e. G /\ <. x , z >. e. F ) ) |
33 |
|
orel1 |
|- ( -. ( <. x , y >. e. G /\ <. x , z >. e. F ) -> ( ( ( <. x , y >. e. G /\ <. x , z >. e. F ) \/ ( <. x , y >. e. G /\ <. x , z >. e. G ) ) -> ( <. x , y >. e. G /\ <. x , z >. e. G ) ) ) |
34 |
32 33
|
syl |
|- ( ( dom F i^i dom G ) = (/) -> ( ( ( <. x , y >. e. G /\ <. x , z >. e. F ) \/ ( <. x , y >. e. G /\ <. x , z >. e. G ) ) -> ( <. x , y >. e. G /\ <. x , z >. e. G ) ) ) |
35 |
25 34
|
orim12d |
|- ( ( dom F i^i dom G ) = (/) -> ( ( ( ( <. x , y >. e. F /\ <. x , z >. e. F ) \/ ( <. x , y >. e. F /\ <. x , z >. e. G ) ) \/ ( ( <. x , y >. e. G /\ <. x , z >. e. F ) \/ ( <. x , y >. e. G /\ <. x , z >. e. G ) ) ) -> ( ( <. x , y >. e. F /\ <. x , z >. e. F ) \/ ( <. x , y >. e. G /\ <. x , z >. e. G ) ) ) ) |
36 |
35
|
adantl |
|- ( ( ( Fun F /\ Fun G ) /\ ( dom F i^i dom G ) = (/) ) -> ( ( ( ( <. x , y >. e. F /\ <. x , z >. e. F ) \/ ( <. x , y >. e. F /\ <. x , z >. e. G ) ) \/ ( ( <. x , y >. e. G /\ <. x , z >. e. F ) \/ ( <. x , y >. e. G /\ <. x , z >. e. G ) ) ) -> ( ( <. x , y >. e. F /\ <. x , z >. e. F ) \/ ( <. x , y >. e. G /\ <. x , z >. e. G ) ) ) ) |
37 |
11 36
|
syl5bi |
|- ( ( ( Fun F /\ Fun G ) /\ ( dom F i^i dom G ) = (/) ) -> ( ( <. x , y >. e. ( F u. G ) /\ <. x , z >. e. ( F u. G ) ) -> ( ( <. x , y >. e. F /\ <. x , z >. e. F ) \/ ( <. x , y >. e. G /\ <. x , z >. e. G ) ) ) ) |
38 |
|
dffun4 |
|- ( Fun F <-> ( Rel F /\ A. x A. y A. z ( ( <. x , y >. e. F /\ <. x , z >. e. F ) -> y = z ) ) ) |
39 |
38
|
simprbi |
|- ( Fun F -> A. x A. y A. z ( ( <. x , y >. e. F /\ <. x , z >. e. F ) -> y = z ) ) |
40 |
39
|
19.21bi |
|- ( Fun F -> A. y A. z ( ( <. x , y >. e. F /\ <. x , z >. e. F ) -> y = z ) ) |
41 |
40
|
19.21bbi |
|- ( Fun F -> ( ( <. x , y >. e. F /\ <. x , z >. e. F ) -> y = z ) ) |
42 |
|
dffun4 |
|- ( Fun G <-> ( Rel G /\ A. x A. y A. z ( ( <. x , y >. e. G /\ <. x , z >. e. G ) -> y = z ) ) ) |
43 |
42
|
simprbi |
|- ( Fun G -> A. x A. y A. z ( ( <. x , y >. e. G /\ <. x , z >. e. G ) -> y = z ) ) |
44 |
43
|
19.21bi |
|- ( Fun G -> A. y A. z ( ( <. x , y >. e. G /\ <. x , z >. e. G ) -> y = z ) ) |
45 |
44
|
19.21bbi |
|- ( Fun G -> ( ( <. x , y >. e. G /\ <. x , z >. e. G ) -> y = z ) ) |
46 |
41 45
|
jaao |
|- ( ( Fun F /\ Fun G ) -> ( ( ( <. x , y >. e. F /\ <. x , z >. e. F ) \/ ( <. x , y >. e. G /\ <. x , z >. e. G ) ) -> y = z ) ) |
47 |
46
|
adantr |
|- ( ( ( Fun F /\ Fun G ) /\ ( dom F i^i dom G ) = (/) ) -> ( ( ( <. x , y >. e. F /\ <. x , z >. e. F ) \/ ( <. x , y >. e. G /\ <. x , z >. e. G ) ) -> y = z ) ) |
48 |
37 47
|
syld |
|- ( ( ( Fun F /\ Fun G ) /\ ( dom F i^i dom G ) = (/) ) -> ( ( <. x , y >. e. ( F u. G ) /\ <. x , z >. e. ( F u. G ) ) -> y = z ) ) |
49 |
48
|
alrimiv |
|- ( ( ( Fun F /\ Fun G ) /\ ( dom F i^i dom G ) = (/) ) -> A. z ( ( <. x , y >. e. ( F u. G ) /\ <. x , z >. e. ( F u. G ) ) -> y = z ) ) |
50 |
49
|
alrimivv |
|- ( ( ( Fun F /\ Fun G ) /\ ( dom F i^i dom G ) = (/) ) -> A. x A. y A. z ( ( <. x , y >. e. ( F u. G ) /\ <. x , z >. e. ( F u. G ) ) -> y = z ) ) |
51 |
|
dffun4 |
|- ( Fun ( F u. G ) <-> ( Rel ( F u. G ) /\ A. x A. y A. z ( ( <. x , y >. e. ( F u. G ) /\ <. x , z >. e. ( F u. G ) ) -> y = z ) ) ) |
52 |
6 50 51
|
sylanbrc |
|- ( ( ( Fun F /\ Fun G ) /\ ( dom F i^i dom G ) = (/) ) -> Fun ( F u. G ) ) |