Theorem gexcl

Description: The exponent of a group is a nonnegative integer. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Apr-2016)

	Ref	Expression
Hypotheses	gexcl.1	|- X = ( Base ` G )
	gexcl.2	|- E = ( gEx ` G )
Assertion	gexcl	|- ( G e. V -> E e. NN0 )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gexcl.1	|- X = ( Base ` G )
2		gexcl.2	|- E = ( gEx ` G )
3		eqid	|- ( .g ` G ) = ( .g ` G )
4		eqid	|- ( 0g ` G ) = ( 0g ` G )
5		eqid	|- { y e. NN | A. x e. X ( y ( .g ` G ) x ) = ( 0g ` G ) } = { y e. NN | A. x e. X ( y ( .g ` G ) x ) = ( 0g ` G ) }
6	1 3 4 2 5	gexlem1	|- ( G e. V -> ( ( E = 0 /\ { y e. NN | A. x e. X ( y ( .g ` G ) x ) = ( 0g ` G ) } = (/) ) \/ E e. { y e. NN | A. x e. X ( y ( .g ` G ) x ) = ( 0g ` G ) } ) )
7		simpl	|- ( ( E = 0 /\ { y e. NN | A. x e. X ( y ( .g ` G ) x ) = ( 0g ` G ) } = (/) ) -> E = 0 )
8		elrabi	|- ( E e. { y e. NN | A. x e. X ( y ( .g ` G ) x ) = ( 0g ` G ) } -> E e. NN )
9	7 8	orim12i	|- ( ( ( E = 0 /\ { y e. NN | A. x e. X ( y ( .g ` G ) x ) = ( 0g ` G ) } = (/) ) \/ E e. { y e. NN | A. x e. X ( y ( .g ` G ) x ) = ( 0g ` G ) } ) -> ( E = 0 \/ E e. NN ) )
10	6 9	syl	|- ( G e. V -> ( E = 0 \/ E e. NN ) )
11	10	orcomd	|- ( G e. V -> ( E e. NN \/ E = 0 ) )
12		elnn0	|- ( E e. NN0 <-> ( E e. NN \/ E = 0 ) )
13	11 12	sylibr	|- ( G e. V -> E e. NN0 )