Theorem gimco

Description: The composition of group isomorphisms is a group isomorphism. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2016)

	Ref	Expression
Assertion	gimco	|- ( ( F e. ( T GrpIso U ) /\ G e. ( S GrpIso T ) ) -> ( F o. G ) e. ( S GrpIso U ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isgim2	|- ( F e. ( T GrpIso U ) <-> ( F e. ( T GrpHom U ) /\ `' F e. ( U GrpHom T ) ) )
2		isgim2	|- ( G e. ( S GrpIso T ) <-> ( G e. ( S GrpHom T ) /\ `' G e. ( T GrpHom S ) ) )
3		ghmco	|- ( ( F e. ( T GrpHom U ) /\ G e. ( S GrpHom T ) ) -> ( F o. G ) e. ( S GrpHom U ) )
4		cnvco	|- `' ( F o. G ) = ( `' G o. `' F )
5		ghmco	|- ( ( `' G e. ( T GrpHom S ) /\ `' F e. ( U GrpHom T ) ) -> ( `' G o. `' F ) e. ( U GrpHom S ) )
6	5	ancoms	|- ( ( `' F e. ( U GrpHom T ) /\ `' G e. ( T GrpHom S ) ) -> ( `' G o. `' F ) e. ( U GrpHom S ) )
7	4 6	eqeltrid	|- ( ( `' F e. ( U GrpHom T ) /\ `' G e. ( T GrpHom S ) ) -> `' ( F o. G ) e. ( U GrpHom S ) )
8	3 7	anim12i	|- ( ( ( F e. ( T GrpHom U ) /\ G e. ( S GrpHom T ) ) /\ ( `' F e. ( U GrpHom T ) /\ `' G e. ( T GrpHom S ) ) ) -> ( ( F o. G ) e. ( S GrpHom U ) /\ `' ( F o. G ) e. ( U GrpHom S ) ) )
9	8	an4s	|- ( ( ( F e. ( T GrpHom U ) /\ `' F e. ( U GrpHom T ) ) /\ ( G e. ( S GrpHom T ) /\ `' G e. ( T GrpHom S ) ) ) -> ( ( F o. G ) e. ( S GrpHom U ) /\ `' ( F o. G ) e. ( U GrpHom S ) ) )
10	1 2 9	syl2anb	|- ( ( F e. ( T GrpIso U ) /\ G e. ( S GrpIso T ) ) -> ( ( F o. G ) e. ( S GrpHom U ) /\ `' ( F o. G ) e. ( U GrpHom S ) ) )
11		isgim2	|- ( ( F o. G ) e. ( S GrpIso U ) <-> ( ( F o. G ) e. ( S GrpHom U ) /\ `' ( F o. G ) e. ( U GrpHom S ) ) )
12	10 11	sylibr	|- ( ( F e. ( T GrpIso U ) /\ G e. ( S GrpIso T ) ) -> ( F o. G ) e. ( S GrpIso U ) )