Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
df-ov |
|- ( A [,] B ) = ( [,] ` <. A , B >. ) |
2 |
|
letsr |
|- <_ e. TosetRel |
3 |
|
ledm |
|- RR* = dom <_ |
4 |
3
|
ordtcld3 |
|- ( ( <_ e. TosetRel /\ x e. RR* /\ y e. RR* ) -> { z e. RR* | ( x <_ z /\ z <_ y ) } e. ( Clsd ` ( ordTop ` <_ ) ) ) |
5 |
2 4
|
mp3an1 |
|- ( ( x e. RR* /\ y e. RR* ) -> { z e. RR* | ( x <_ z /\ z <_ y ) } e. ( Clsd ` ( ordTop ` <_ ) ) ) |
6 |
5
|
rgen2 |
|- A. x e. RR* A. y e. RR* { z e. RR* | ( x <_ z /\ z <_ y ) } e. ( Clsd ` ( ordTop ` <_ ) ) |
7 |
|
df-icc |
|- [,] = ( x e. RR* , y e. RR* |-> { z e. RR* | ( x <_ z /\ z <_ y ) } ) |
8 |
7
|
fmpo |
|- ( A. x e. RR* A. y e. RR* { z e. RR* | ( x <_ z /\ z <_ y ) } e. ( Clsd ` ( ordTop ` <_ ) ) <-> [,] : ( RR* X. RR* ) --> ( Clsd ` ( ordTop ` <_ ) ) ) |
9 |
6 8
|
mpbi |
|- [,] : ( RR* X. RR* ) --> ( Clsd ` ( ordTop ` <_ ) ) |
10 |
|
letop |
|- ( ordTop ` <_ ) e. Top |
11 |
|
0cld |
|- ( ( ordTop ` <_ ) e. Top -> (/) e. ( Clsd ` ( ordTop ` <_ ) ) ) |
12 |
10 11
|
ax-mp |
|- (/) e. ( Clsd ` ( ordTop ` <_ ) ) |
13 |
9 12
|
f0cli |
|- ( [,] ` <. A , B >. ) e. ( Clsd ` ( ordTop ` <_ ) ) |
14 |
1 13
|
eqeltri |
|- ( A [,] B ) e. ( Clsd ` ( ordTop ` <_ ) ) |