Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
simpr1 |
|- ( ( C e. V /\ ( A. x e. A B e. C /\ A =/= (/) /\ A e. Fin ) ) -> A. x e. A B e. C ) |
2 |
|
dfiin2g |
|- ( A. x e. A B e. C -> |^|_ x e. A B = |^| { y | E. x e. A y = B } ) |
3 |
1 2
|
syl |
|- ( ( C e. V /\ ( A. x e. A B e. C /\ A =/= (/) /\ A e. Fin ) ) -> |^|_ x e. A B = |^| { y | E. x e. A y = B } ) |
4 |
|
eqid |
|- ( x e. A |-> B ) = ( x e. A |-> B ) |
5 |
4
|
rnmpt |
|- ran ( x e. A |-> B ) = { y | E. x e. A y = B } |
6 |
5
|
inteqi |
|- |^| ran ( x e. A |-> B ) = |^| { y | E. x e. A y = B } |
7 |
3 6
|
eqtr4di |
|- ( ( C e. V /\ ( A. x e. A B e. C /\ A =/= (/) /\ A e. Fin ) ) -> |^|_ x e. A B = |^| ran ( x e. A |-> B ) ) |
8 |
4
|
fmpt |
|- ( A. x e. A B e. C <-> ( x e. A |-> B ) : A --> C ) |
9 |
8
|
3anbi1i |
|- ( ( A. x e. A B e. C /\ A =/= (/) /\ A e. Fin ) <-> ( ( x e. A |-> B ) : A --> C /\ A =/= (/) /\ A e. Fin ) ) |
10 |
|
intrnfi |
|- ( ( C e. V /\ ( ( x e. A |-> B ) : A --> C /\ A =/= (/) /\ A e. Fin ) ) -> |^| ran ( x e. A |-> B ) e. ( fi ` C ) ) |
11 |
9 10
|
sylan2b |
|- ( ( C e. V /\ ( A. x e. A B e. C /\ A =/= (/) /\ A e. Fin ) ) -> |^| ran ( x e. A |-> B ) e. ( fi ` C ) ) |
12 |
7 11
|
eqeltrd |
|- ( ( C e. V /\ ( A. x e. A B e. C /\ A =/= (/) /\ A e. Fin ) ) -> |^|_ x e. A B e. ( fi ` C ) ) |