Theorem ineccnvmo

Description: Equivalence of a double restricted universal quantification and a restricted "at most one" inside a universal quantification. (Contributed by Peter Mazsa, 2-Sep-2021)

	Ref	Expression
Assertion	ineccnvmo	|- ( A. y e. B A. z e. B ( y = z \/ ( [ y ] `' F i^i [ z ] `' F ) = (/) ) <-> A. x E* y e. B x F y )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relcnv	|- Rel `' F
2		id	|- ( y = z -> y = z )
3	2	inecmo	|- ( Rel `' F -> ( A. y e. B A. z e. B ( y = z \/ ( [ y ] `' F i^i [ z ] `' F ) = (/) ) <-> A. x E* y e. B y `' F x ) )
4	1 3	ax-mp	|- ( A. y e. B A. z e. B ( y = z \/ ( [ y ] `' F i^i [ z ] `' F ) = (/) ) <-> A. x E* y e. B y `' F x )
5		brcnvg	|- ( ( y e. _V /\ x e. _V ) -> ( y `' F x <-> x F y ) )
6	5	el2v	|- ( y `' F x <-> x F y )
7	6	rmobii	|- ( E* y e. B y `' F x <-> E* y e. B x F y )
8	7	albii	|- ( A. x E* y e. B y `' F x <-> A. x E* y e. B x F y )
9	4 8	bitri	|- ( A. y e. B A. z e. B ( y = z \/ ( [ y ] `' F i^i [ z ] `' F ) = (/) ) <-> A. x E* y e. B x F y )