Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
r19.26 |
|- ( A. x e. A ( x =/= B /\ x =/= C ) <-> ( A. x e. A x =/= B /\ A. x e. A x =/= C ) ) |
2 |
|
nelpr |
|- ( x e. _V -> ( -. x e. { B , C } <-> ( x =/= B /\ x =/= C ) ) ) |
3 |
2
|
elv |
|- ( -. x e. { B , C } <-> ( x =/= B /\ x =/= C ) ) |
4 |
3
|
imbi2i |
|- ( ( x e. A -> -. x e. { B , C } ) <-> ( x e. A -> ( x =/= B /\ x =/= C ) ) ) |
5 |
4
|
albii |
|- ( A. x ( x e. A -> -. x e. { B , C } ) <-> A. x ( x e. A -> ( x =/= B /\ x =/= C ) ) ) |
6 |
|
disj1 |
|- ( ( A i^i { B , C } ) = (/) <-> A. x ( x e. A -> -. x e. { B , C } ) ) |
7 |
|
df-ral |
|- ( A. x e. A ( x =/= B /\ x =/= C ) <-> A. x ( x e. A -> ( x =/= B /\ x =/= C ) ) ) |
8 |
5 6 7
|
3bitr4i |
|- ( ( A i^i { B , C } ) = (/) <-> A. x e. A ( x =/= B /\ x =/= C ) ) |
9 |
|
nelb |
|- ( -. B e. A <-> A. x e. A x =/= B ) |
10 |
|
nelb |
|- ( -. C e. A <-> A. x e. A x =/= C ) |
11 |
9 10
|
anbi12i |
|- ( ( -. B e. A /\ -. C e. A ) <-> ( A. x e. A x =/= B /\ A. x e. A x =/= C ) ) |
12 |
1 8 11
|
3bitr4i |
|- ( ( A i^i { B , C } ) = (/) <-> ( -. B e. A /\ -. C e. A ) ) |