Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
topontop |
|- ( J e. ( TopOn ` X ) -> J e. Top ) |
2 |
|
toponuni |
|- ( J e. ( TopOn ` X ) -> X = U. J ) |
3 |
2
|
fveq2d |
|- ( J e. ( TopOn ` X ) -> ( Fil ` X ) = ( Fil ` U. J ) ) |
4 |
3
|
eleq2d |
|- ( J e. ( TopOn ` X ) -> ( F e. ( Fil ` X ) <-> F e. ( Fil ` U. J ) ) ) |
5 |
4
|
biimpa |
|- ( ( J e. ( TopOn ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) ) -> F e. ( Fil ` U. J ) ) |
6 |
|
eqid |
|- U. J = U. J |
7 |
6
|
isfcls |
|- ( A e. ( J fClus F ) <-> ( J e. Top /\ F e. ( Fil ` U. J ) /\ A. s e. F A e. ( ( cls ` J ) ` s ) ) ) |
8 |
|
df-3an |
|- ( ( J e. Top /\ F e. ( Fil ` U. J ) /\ A. s e. F A e. ( ( cls ` J ) ` s ) ) <-> ( ( J e. Top /\ F e. ( Fil ` U. J ) ) /\ A. s e. F A e. ( ( cls ` J ) ` s ) ) ) |
9 |
7 8
|
bitri |
|- ( A e. ( J fClus F ) <-> ( ( J e. Top /\ F e. ( Fil ` U. J ) ) /\ A. s e. F A e. ( ( cls ` J ) ` s ) ) ) |
10 |
9
|
baib |
|- ( ( J e. Top /\ F e. ( Fil ` U. J ) ) -> ( A e. ( J fClus F ) <-> A. s e. F A e. ( ( cls ` J ) ` s ) ) ) |
11 |
1 5 10
|
syl2an2r |
|- ( ( J e. ( TopOn ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) ) -> ( A e. ( J fClus F ) <-> A. s e. F A e. ( ( cls ` J ) ` s ) ) ) |