Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
fclsval.x |
|- X = U. J |
2 |
|
anass |
|- ( ( ( ( J e. Top /\ F e. U. ran Fil ) /\ X = U. F ) /\ A. s e. F A e. ( ( cls ` J ) ` s ) ) <-> ( ( J e. Top /\ F e. U. ran Fil ) /\ ( X = U. F /\ A. s e. F A e. ( ( cls ` J ) ` s ) ) ) ) |
3 |
|
fvssunirn |
|- ( Fil ` X ) C_ U. ran Fil |
4 |
3
|
sseli |
|- ( F e. ( Fil ` X ) -> F e. U. ran Fil ) |
5 |
|
filunibas |
|- ( F e. ( Fil ` X ) -> U. F = X ) |
6 |
5
|
eqcomd |
|- ( F e. ( Fil ` X ) -> X = U. F ) |
7 |
4 6
|
jca |
|- ( F e. ( Fil ` X ) -> ( F e. U. ran Fil /\ X = U. F ) ) |
8 |
|
filunirn |
|- ( F e. U. ran Fil <-> F e. ( Fil ` U. F ) ) |
9 |
|
fveq2 |
|- ( X = U. F -> ( Fil ` X ) = ( Fil ` U. F ) ) |
10 |
9
|
eleq2d |
|- ( X = U. F -> ( F e. ( Fil ` X ) <-> F e. ( Fil ` U. F ) ) ) |
11 |
10
|
biimparc |
|- ( ( F e. ( Fil ` U. F ) /\ X = U. F ) -> F e. ( Fil ` X ) ) |
12 |
8 11
|
sylanb |
|- ( ( F e. U. ran Fil /\ X = U. F ) -> F e. ( Fil ` X ) ) |
13 |
7 12
|
impbii |
|- ( F e. ( Fil ` X ) <-> ( F e. U. ran Fil /\ X = U. F ) ) |
14 |
13
|
anbi2i |
|- ( ( J e. Top /\ F e. ( Fil ` X ) ) <-> ( J e. Top /\ ( F e. U. ran Fil /\ X = U. F ) ) ) |
15 |
14
|
anbi1i |
|- ( ( ( J e. Top /\ F e. ( Fil ` X ) ) /\ A. s e. F A e. ( ( cls ` J ) ` s ) ) <-> ( ( J e. Top /\ ( F e. U. ran Fil /\ X = U. F ) ) /\ A. s e. F A e. ( ( cls ` J ) ` s ) ) ) |
16 |
|
df-3an |
|- ( ( J e. Top /\ F e. ( Fil ` X ) /\ A. s e. F A e. ( ( cls ` J ) ` s ) ) <-> ( ( J e. Top /\ F e. ( Fil ` X ) ) /\ A. s e. F A e. ( ( cls ` J ) ` s ) ) ) |
17 |
|
anass |
|- ( ( ( J e. Top /\ F e. U. ran Fil ) /\ X = U. F ) <-> ( J e. Top /\ ( F e. U. ran Fil /\ X = U. F ) ) ) |
18 |
17
|
anbi1i |
|- ( ( ( ( J e. Top /\ F e. U. ran Fil ) /\ X = U. F ) /\ A. s e. F A e. ( ( cls ` J ) ` s ) ) <-> ( ( J e. Top /\ ( F e. U. ran Fil /\ X = U. F ) ) /\ A. s e. F A e. ( ( cls ` J ) ` s ) ) ) |
19 |
15 16 18
|
3bitr4i |
|- ( ( J e. Top /\ F e. ( Fil ` X ) /\ A. s e. F A e. ( ( cls ` J ) ` s ) ) <-> ( ( ( J e. Top /\ F e. U. ran Fil ) /\ X = U. F ) /\ A. s e. F A e. ( ( cls ` J ) ` s ) ) ) |
20 |
|
df-fcls |
|- fClus = ( j e. Top , f e. U. ran Fil |-> if ( U. j = U. f , |^|_ x e. f ( ( cls ` j ) ` x ) , (/) ) ) |
21 |
20
|
elmpocl |
|- ( A e. ( J fClus F ) -> ( J e. Top /\ F e. U. ran Fil ) ) |
22 |
1
|
fclsval |
|- ( ( J e. Top /\ F e. ( Fil ` U. F ) ) -> ( J fClus F ) = if ( X = U. F , |^|_ s e. F ( ( cls ` J ) ` s ) , (/) ) ) |
23 |
8 22
|
sylan2b |
|- ( ( J e. Top /\ F e. U. ran Fil ) -> ( J fClus F ) = if ( X = U. F , |^|_ s e. F ( ( cls ` J ) ` s ) , (/) ) ) |
24 |
23
|
eleq2d |
|- ( ( J e. Top /\ F e. U. ran Fil ) -> ( A e. ( J fClus F ) <-> A e. if ( X = U. F , |^|_ s e. F ( ( cls ` J ) ` s ) , (/) ) ) ) |
25 |
|
n0i |
|- ( A e. if ( X = U. F , |^|_ s e. F ( ( cls ` J ) ` s ) , (/) ) -> -. if ( X = U. F , |^|_ s e. F ( ( cls ` J ) ` s ) , (/) ) = (/) ) |
26 |
|
iffalse |
|- ( -. X = U. F -> if ( X = U. F , |^|_ s e. F ( ( cls ` J ) ` s ) , (/) ) = (/) ) |
27 |
25 26
|
nsyl2 |
|- ( A e. if ( X = U. F , |^|_ s e. F ( ( cls ` J ) ` s ) , (/) ) -> X = U. F ) |
28 |
27
|
a1i |
|- ( ( J e. Top /\ F e. U. ran Fil ) -> ( A e. if ( X = U. F , |^|_ s e. F ( ( cls ` J ) ` s ) , (/) ) -> X = U. F ) ) |
29 |
28
|
pm4.71rd |
|- ( ( J e. Top /\ F e. U. ran Fil ) -> ( A e. if ( X = U. F , |^|_ s e. F ( ( cls ` J ) ` s ) , (/) ) <-> ( X = U. F /\ A e. if ( X = U. F , |^|_ s e. F ( ( cls ` J ) ` s ) , (/) ) ) ) ) |
30 |
|
iftrue |
|- ( X = U. F -> if ( X = U. F , |^|_ s e. F ( ( cls ` J ) ` s ) , (/) ) = |^|_ s e. F ( ( cls ` J ) ` s ) ) |
31 |
30
|
adantl |
|- ( ( ( J e. Top /\ F e. U. ran Fil ) /\ X = U. F ) -> if ( X = U. F , |^|_ s e. F ( ( cls ` J ) ` s ) , (/) ) = |^|_ s e. F ( ( cls ` J ) ` s ) ) |
32 |
31
|
eleq2d |
|- ( ( ( J e. Top /\ F e. U. ran Fil ) /\ X = U. F ) -> ( A e. if ( X = U. F , |^|_ s e. F ( ( cls ` J ) ` s ) , (/) ) <-> A e. |^|_ s e. F ( ( cls ` J ) ` s ) ) ) |
33 |
|
elex |
|- ( A e. |^|_ s e. F ( ( cls ` J ) ` s ) -> A e. _V ) |
34 |
33
|
a1i |
|- ( ( ( J e. Top /\ F e. U. ran Fil ) /\ X = U. F ) -> ( A e. |^|_ s e. F ( ( cls ` J ) ` s ) -> A e. _V ) ) |
35 |
|
filn0 |
|- ( F e. ( Fil ` U. F ) -> F =/= (/) ) |
36 |
8 35
|
sylbi |
|- ( F e. U. ran Fil -> F =/= (/) ) |
37 |
36
|
ad2antlr |
|- ( ( ( J e. Top /\ F e. U. ran Fil ) /\ X = U. F ) -> F =/= (/) ) |
38 |
|
r19.2z |
|- ( ( F =/= (/) /\ A. s e. F A e. ( ( cls ` J ) ` s ) ) -> E. s e. F A e. ( ( cls ` J ) ` s ) ) |
39 |
38
|
ex |
|- ( F =/= (/) -> ( A. s e. F A e. ( ( cls ` J ) ` s ) -> E. s e. F A e. ( ( cls ` J ) ` s ) ) ) |
40 |
37 39
|
syl |
|- ( ( ( J e. Top /\ F e. U. ran Fil ) /\ X = U. F ) -> ( A. s e. F A e. ( ( cls ` J ) ` s ) -> E. s e. F A e. ( ( cls ` J ) ` s ) ) ) |
41 |
|
elex |
|- ( A e. ( ( cls ` J ) ` s ) -> A e. _V ) |
42 |
41
|
rexlimivw |
|- ( E. s e. F A e. ( ( cls ` J ) ` s ) -> A e. _V ) |
43 |
40 42
|
syl6 |
|- ( ( ( J e. Top /\ F e. U. ran Fil ) /\ X = U. F ) -> ( A. s e. F A e. ( ( cls ` J ) ` s ) -> A e. _V ) ) |
44 |
|
eliin |
|- ( A e. _V -> ( A e. |^|_ s e. F ( ( cls ` J ) ` s ) <-> A. s e. F A e. ( ( cls ` J ) ` s ) ) ) |
45 |
44
|
a1i |
|- ( ( ( J e. Top /\ F e. U. ran Fil ) /\ X = U. F ) -> ( A e. _V -> ( A e. |^|_ s e. F ( ( cls ` J ) ` s ) <-> A. s e. F A e. ( ( cls ` J ) ` s ) ) ) ) |
46 |
34 43 45
|
pm5.21ndd |
|- ( ( ( J e. Top /\ F e. U. ran Fil ) /\ X = U. F ) -> ( A e. |^|_ s e. F ( ( cls ` J ) ` s ) <-> A. s e. F A e. ( ( cls ` J ) ` s ) ) ) |
47 |
32 46
|
bitrd |
|- ( ( ( J e. Top /\ F e. U. ran Fil ) /\ X = U. F ) -> ( A e. if ( X = U. F , |^|_ s e. F ( ( cls ` J ) ` s ) , (/) ) <-> A. s e. F A e. ( ( cls ` J ) ` s ) ) ) |
48 |
47
|
pm5.32da |
|- ( ( J e. Top /\ F e. U. ran Fil ) -> ( ( X = U. F /\ A e. if ( X = U. F , |^|_ s e. F ( ( cls ` J ) ` s ) , (/) ) ) <-> ( X = U. F /\ A. s e. F A e. ( ( cls ` J ) ` s ) ) ) ) |
49 |
24 29 48
|
3bitrd |
|- ( ( J e. Top /\ F e. U. ran Fil ) -> ( A e. ( J fClus F ) <-> ( X = U. F /\ A. s e. F A e. ( ( cls ` J ) ` s ) ) ) ) |
50 |
21 49
|
biadanii |
|- ( A e. ( J fClus F ) <-> ( ( J e. Top /\ F e. U. ran Fil ) /\ ( X = U. F /\ A. s e. F A e. ( ( cls ` J ) ` s ) ) ) ) |
51 |
2 19 50
|
3bitr4ri |
|- ( A e. ( J fClus F ) <-> ( J e. Top /\ F e. ( Fil ` X ) /\ A. s e. F A e. ( ( cls ` J ) ` s ) ) ) |