Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
ismgmd.b |
|- ( ph -> B = ( Base ` G ) ) |
2 |
|
ismgmd.0 |
|- ( ph -> G e. V ) |
3 |
|
ismgmd.p |
|- ( ph -> .+ = ( +g ` G ) ) |
4 |
|
ismgmd.c |
|- ( ( ph /\ x e. B /\ y e. B ) -> ( x .+ y ) e. B ) |
5 |
4
|
3expb |
|- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( x .+ y ) e. B ) |
6 |
5
|
ralrimivva |
|- ( ph -> A. x e. B A. y e. B ( x .+ y ) e. B ) |
7 |
3
|
oveqd |
|- ( ph -> ( x .+ y ) = ( x ( +g ` G ) y ) ) |
8 |
7 1
|
eleq12d |
|- ( ph -> ( ( x .+ y ) e. B <-> ( x ( +g ` G ) y ) e. ( Base ` G ) ) ) |
9 |
1 8
|
raleqbidv |
|- ( ph -> ( A. y e. B ( x .+ y ) e. B <-> A. y e. ( Base ` G ) ( x ( +g ` G ) y ) e. ( Base ` G ) ) ) |
10 |
1 9
|
raleqbidv |
|- ( ph -> ( A. x e. B A. y e. B ( x .+ y ) e. B <-> A. x e. ( Base ` G ) A. y e. ( Base ` G ) ( x ( +g ` G ) y ) e. ( Base ` G ) ) ) |
11 |
6 10
|
mpbid |
|- ( ph -> A. x e. ( Base ` G ) A. y e. ( Base ` G ) ( x ( +g ` G ) y ) e. ( Base ` G ) ) |
12 |
|
eqid |
|- ( Base ` G ) = ( Base ` G ) |
13 |
|
eqid |
|- ( +g ` G ) = ( +g ` G ) |
14 |
12 13
|
ismgm |
|- ( G e. V -> ( G e. Mgm <-> A. x e. ( Base ` G ) A. y e. ( Base ` G ) ( x ( +g ` G ) y ) e. ( Base ` G ) ) ) |
15 |
2 14
|
syl |
|- ( ph -> ( G e. Mgm <-> A. x e. ( Base ` G ) A. y e. ( Base ` G ) ( x ( +g ` G ) y ) e. ( Base ` G ) ) ) |
16 |
11 15
|
mpbird |
|- ( ph -> G e. Mgm ) |