Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
irred.1 |
|- B = ( Base ` R ) |
2 |
|
irred.2 |
|- U = ( Unit ` R ) |
3 |
|
irred.3 |
|- I = ( Irred ` R ) |
4 |
|
irred.4 |
|- N = ( B \ U ) |
5 |
|
irred.5 |
|- .x. = ( .r ` R ) |
6 |
4
|
eleq2i |
|- ( X e. N <-> X e. ( B \ U ) ) |
7 |
|
eldif |
|- ( X e. ( B \ U ) <-> ( X e. B /\ -. X e. U ) ) |
8 |
6 7
|
bitri |
|- ( X e. N <-> ( X e. B /\ -. X e. U ) ) |
9 |
8
|
baibr |
|- ( X e. B -> ( -. X e. U <-> X e. N ) ) |
10 |
|
df-ne |
|- ( ( x .x. y ) =/= X <-> -. ( x .x. y ) = X ) |
11 |
10
|
ralbii |
|- ( A. y e. N ( x .x. y ) =/= X <-> A. y e. N -. ( x .x. y ) = X ) |
12 |
|
ralnex |
|- ( A. y e. N -. ( x .x. y ) = X <-> -. E. y e. N ( x .x. y ) = X ) |
13 |
11 12
|
bitri |
|- ( A. y e. N ( x .x. y ) =/= X <-> -. E. y e. N ( x .x. y ) = X ) |
14 |
13
|
ralbii |
|- ( A. x e. N A. y e. N ( x .x. y ) =/= X <-> A. x e. N -. E. y e. N ( x .x. y ) = X ) |
15 |
|
ralnex |
|- ( A. x e. N -. E. y e. N ( x .x. y ) = X <-> -. E. x e. N E. y e. N ( x .x. y ) = X ) |
16 |
14 15
|
bitr2i |
|- ( -. E. x e. N E. y e. N ( x .x. y ) = X <-> A. x e. N A. y e. N ( x .x. y ) =/= X ) |
17 |
16
|
a1i |
|- ( X e. B -> ( -. E. x e. N E. y e. N ( x .x. y ) = X <-> A. x e. N A. y e. N ( x .x. y ) =/= X ) ) |
18 |
9 17
|
anbi12d |
|- ( X e. B -> ( ( -. X e. U /\ -. E. x e. N E. y e. N ( x .x. y ) = X ) <-> ( X e. N /\ A. x e. N A. y e. N ( x .x. y ) =/= X ) ) ) |
19 |
|
ioran |
|- ( -. ( X e. U \/ E. x e. N E. y e. N ( x .x. y ) = X ) <-> ( -. X e. U /\ -. E. x e. N E. y e. N ( x .x. y ) = X ) ) |
20 |
1 2 3 4 5
|
isirred |
|- ( X e. I <-> ( X e. N /\ A. x e. N A. y e. N ( x .x. y ) =/= X ) ) |
21 |
18 19 20
|
3bitr4g |
|- ( X e. B -> ( -. ( X e. U \/ E. x e. N E. y e. N ( x .x. y ) = X ) <-> X e. I ) ) |
22 |
21
|
con1bid |
|- ( X e. B -> ( -. X e. I <-> ( X e. U \/ E. x e. N E. y e. N ( x .x. y ) = X ) ) ) |