Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
irred.1 |
⊢ 𝐵 = ( Base ‘ 𝑅 ) |
2 |
|
irred.2 |
⊢ 𝑈 = ( Unit ‘ 𝑅 ) |
3 |
|
irred.3 |
⊢ 𝐼 = ( Irred ‘ 𝑅 ) |
4 |
|
irred.4 |
⊢ 𝑁 = ( 𝐵 ∖ 𝑈 ) |
5 |
|
irred.5 |
⊢ · = ( .r ‘ 𝑅 ) |
6 |
4
|
eleq2i |
⊢ ( 𝑋 ∈ 𝑁 ↔ 𝑋 ∈ ( 𝐵 ∖ 𝑈 ) ) |
7 |
|
eldif |
⊢ ( 𝑋 ∈ ( 𝐵 ∖ 𝑈 ) ↔ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝑈 ) ) |
8 |
6 7
|
bitri |
⊢ ( 𝑋 ∈ 𝑁 ↔ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝑈 ) ) |
9 |
8
|
baibr |
⊢ ( 𝑋 ∈ 𝐵 → ( ¬ 𝑋 ∈ 𝑈 ↔ 𝑋 ∈ 𝑁 ) ) |
10 |
|
df-ne |
⊢ ( ( 𝑥 · 𝑦 ) ≠ 𝑋 ↔ ¬ ( 𝑥 · 𝑦 ) = 𝑋 ) |
11 |
10
|
ralbii |
⊢ ( ∀ 𝑦 ∈ 𝑁 ( 𝑥 · 𝑦 ) ≠ 𝑋 ↔ ∀ 𝑦 ∈ 𝑁 ¬ ( 𝑥 · 𝑦 ) = 𝑋 ) |
12 |
|
ralnex |
⊢ ( ∀ 𝑦 ∈ 𝑁 ¬ ( 𝑥 · 𝑦 ) = 𝑋 ↔ ¬ ∃ 𝑦 ∈ 𝑁 ( 𝑥 · 𝑦 ) = 𝑋 ) |
13 |
11 12
|
bitri |
⊢ ( ∀ 𝑦 ∈ 𝑁 ( 𝑥 · 𝑦 ) ≠ 𝑋 ↔ ¬ ∃ 𝑦 ∈ 𝑁 ( 𝑥 · 𝑦 ) = 𝑋 ) |
14 |
13
|
ralbii |
⊢ ( ∀ 𝑥 ∈ 𝑁 ∀ 𝑦 ∈ 𝑁 ( 𝑥 · 𝑦 ) ≠ 𝑋 ↔ ∀ 𝑥 ∈ 𝑁 ¬ ∃ 𝑦 ∈ 𝑁 ( 𝑥 · 𝑦 ) = 𝑋 ) |
15 |
|
ralnex |
⊢ ( ∀ 𝑥 ∈ 𝑁 ¬ ∃ 𝑦 ∈ 𝑁 ( 𝑥 · 𝑦 ) = 𝑋 ↔ ¬ ∃ 𝑥 ∈ 𝑁 ∃ 𝑦 ∈ 𝑁 ( 𝑥 · 𝑦 ) = 𝑋 ) |
16 |
14 15
|
bitr2i |
⊢ ( ¬ ∃ 𝑥 ∈ 𝑁 ∃ 𝑦 ∈ 𝑁 ( 𝑥 · 𝑦 ) = 𝑋 ↔ ∀ 𝑥 ∈ 𝑁 ∀ 𝑦 ∈ 𝑁 ( 𝑥 · 𝑦 ) ≠ 𝑋 ) |
17 |
16
|
a1i |
⊢ ( 𝑋 ∈ 𝐵 → ( ¬ ∃ 𝑥 ∈ 𝑁 ∃ 𝑦 ∈ 𝑁 ( 𝑥 · 𝑦 ) = 𝑋 ↔ ∀ 𝑥 ∈ 𝑁 ∀ 𝑦 ∈ 𝑁 ( 𝑥 · 𝑦 ) ≠ 𝑋 ) ) |
18 |
9 17
|
anbi12d |
⊢ ( 𝑋 ∈ 𝐵 → ( ( ¬ 𝑋 ∈ 𝑈 ∧ ¬ ∃ 𝑥 ∈ 𝑁 ∃ 𝑦 ∈ 𝑁 ( 𝑥 · 𝑦 ) = 𝑋 ) ↔ ( 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝑁 ∀ 𝑦 ∈ 𝑁 ( 𝑥 · 𝑦 ) ≠ 𝑋 ) ) ) |
19 |
|
ioran |
⊢ ( ¬ ( 𝑋 ∈ 𝑈 ∨ ∃ 𝑥 ∈ 𝑁 ∃ 𝑦 ∈ 𝑁 ( 𝑥 · 𝑦 ) = 𝑋 ) ↔ ( ¬ 𝑋 ∈ 𝑈 ∧ ¬ ∃ 𝑥 ∈ 𝑁 ∃ 𝑦 ∈ 𝑁 ( 𝑥 · 𝑦 ) = 𝑋 ) ) |
20 |
1 2 3 4 5
|
isirred |
⊢ ( 𝑋 ∈ 𝐼 ↔ ( 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝑁 ∀ 𝑦 ∈ 𝑁 ( 𝑥 · 𝑦 ) ≠ 𝑋 ) ) |
21 |
18 19 20
|
3bitr4g |
⊢ ( 𝑋 ∈ 𝐵 → ( ¬ ( 𝑋 ∈ 𝑈 ∨ ∃ 𝑥 ∈ 𝑁 ∃ 𝑦 ∈ 𝑁 ( 𝑥 · 𝑦 ) = 𝑋 ) ↔ 𝑋 ∈ 𝐼 ) ) |
22 |
21
|
con1bid |
⊢ ( 𝑋 ∈ 𝐵 → ( ¬ 𝑋 ∈ 𝐼 ↔ ( 𝑋 ∈ 𝑈 ∨ ∃ 𝑥 ∈ 𝑁 ∃ 𝑦 ∈ 𝑁 ( 𝑥 · 𝑦 ) = 𝑋 ) ) ) |