Theorem ispligb

Description: The predicate "is a planar incidence geometry". (Contributed by BJ, 2-Dec-2021)

	Ref	Expression
Hypothesis	isplig.1	|- P = U. G
Assertion	ispligb	|- ( G e. Plig <-> ( G e. _V /\ ( A. a e. P A. b e. P ( a =/= b -> E! l e. G ( a e. l /\ b e. l ) ) /\ A. l e. G E. a e. P E. b e. P ( a =/= b /\ a e. l /\ b e. l ) /\ E. a e. P E. b e. P E. c e. P A. l e. G -. ( a e. l /\ b e. l /\ c e. l ) ) ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isplig.1	|- P = U. G
2		elex	|- ( G e. Plig -> G e. _V )
3	1	isplig	|- ( G e. _V -> ( G e. Plig <-> ( A. a e. P A. b e. P ( a =/= b -> E! l e. G ( a e. l /\ b e. l ) ) /\ A. l e. G E. a e. P E. b e. P ( a =/= b /\ a e. l /\ b e. l ) /\ E. a e. P E. b e. P E. c e. P A. l e. G -. ( a e. l /\ b e. l /\ c e. l ) ) ) )
4	2 3	biadanii	|- ( G e. Plig <-> ( G e. _V /\ ( A. a e. P A. b e. P ( a =/= b -> E! l e. G ( a e. l /\ b e. l ) ) /\ A. l e. G E. a e. P E. b e. P ( a =/= b /\ a e. l /\ b e. l ) /\ E. a e. P E. b e. P E. c e. P A. l e. G -. ( a e. l /\ b e. l /\ c e. l ) ) ) )