Theorem iunopab

Description: Move indexed union inside an ordered-pair class abstraction. (Contributed by Stefan O'Rear, 20-Feb-2015) Avoid ax-sep , ax-nul , ax-pr . (Revised by SN, 11-Nov-2024)

	Ref	Expression
Assertion	iunopab	|- U_ z e. A { <. x , y >. | ph } = { <. x , y >. | E. z e. A ph }

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elopabw	|- ( w e. _V -> ( w e. { <. x , y >. | ph } <-> E. x E. y ( w = <. x , y >. /\ ph ) ) )
2	1	elv	|- ( w e. { <. x , y >. | ph } <-> E. x E. y ( w = <. x , y >. /\ ph ) )
3	2	rexbii	|- ( E. z e. A w e. { <. x , y >. | ph } <-> E. z e. A E. x E. y ( w = <. x , y >. /\ ph ) )
4		rexcom4	|- ( E. z e. A E. x E. y ( w = <. x , y >. /\ ph ) <-> E. x E. z e. A E. y ( w = <. x , y >. /\ ph ) )
5		rexcom4	|- ( E. z e. A E. y ( w = <. x , y >. /\ ph ) <-> E. y E. z e. A ( w = <. x , y >. /\ ph ) )
6		r19.42v	|- ( E. z e. A ( w = <. x , y >. /\ ph ) <-> ( w = <. x , y >. /\ E. z e. A ph ) )
7	6	exbii	|- ( E. y E. z e. A ( w = <. x , y >. /\ ph ) <-> E. y ( w = <. x , y >. /\ E. z e. A ph ) )
8	5 7	bitri	|- ( E. z e. A E. y ( w = <. x , y >. /\ ph ) <-> E. y ( w = <. x , y >. /\ E. z e. A ph ) )
9	8	exbii	|- ( E. x E. z e. A E. y ( w = <. x , y >. /\ ph ) <-> E. x E. y ( w = <. x , y >. /\ E. z e. A ph ) )
10	4 9	bitri	|- ( E. z e. A E. x E. y ( w = <. x , y >. /\ ph ) <-> E. x E. y ( w = <. x , y >. /\ E. z e. A ph ) )
11	3 10	bitri	|- ( E. z e. A w e. { <. x , y >. | ph } <-> E. x E. y ( w = <. x , y >. /\ E. z e. A ph ) )
12	11	abbii	|- { w | E. z e. A w e. { <. x , y >. | ph } } = { w | E. x E. y ( w = <. x , y >. /\ E. z e. A ph ) }
13		df-iun	|- U_ z e. A { <. x , y >. | ph } = { w | E. z e. A w e. { <. x , y >. | ph } }
14		df-opab	|- { <. x , y >. | E. z e. A ph } = { w | E. x E. y ( w = <. x , y >. /\ E. z e. A ph ) }
15	12 13 14	3eqtr4i	|- U_ z e. A { <. x , y >. | ph } = { <. x , y >. | E. z e. A ph }