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Theorem lautle

Description: Less-than or equal property of a lattice automorphism. (Contributed by NM, 19-May-2012)

Ref Expression
Hypotheses lautset.b
|- B = ( Base ` K )
lautset.l
|- .<_ = ( le ` K )
lautset.i
|- I = ( LAut ` K )
Assertion lautle
|- ( ( ( K e. V /\ F e. I ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) ) -> ( X .<_ Y <-> ( F ` X ) .<_ ( F ` Y ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 lautset.b
 |-  B = ( Base ` K )
2 lautset.l
 |-  .<_ = ( le ` K )
3 lautset.i
 |-  I = ( LAut ` K )
4 1 2 3 islaut
 |-  ( K e. V -> ( F e. I <-> ( F : B -1-1-onto-> B /\ A. x e. B A. y e. B ( x .<_ y <-> ( F ` x ) .<_ ( F ` y ) ) ) ) )
5 4 simplbda
 |-  ( ( K e. V /\ F e. I ) -> A. x e. B A. y e. B ( x .<_ y <-> ( F ` x ) .<_ ( F ` y ) ) )
6 breq1
 |-  ( x = X -> ( x .<_ y <-> X .<_ y ) )
7 fveq2
 |-  ( x = X -> ( F ` x ) = ( F ` X ) )
8 7 breq1d
 |-  ( x = X -> ( ( F ` x ) .<_ ( F ` y ) <-> ( F ` X ) .<_ ( F ` y ) ) )
9 6 8 bibi12d
 |-  ( x = X -> ( ( x .<_ y <-> ( F ` x ) .<_ ( F ` y ) ) <-> ( X .<_ y <-> ( F ` X ) .<_ ( F ` y ) ) ) )
10 breq2
 |-  ( y = Y -> ( X .<_ y <-> X .<_ Y ) )
11 fveq2
 |-  ( y = Y -> ( F ` y ) = ( F ` Y ) )
12 11 breq2d
 |-  ( y = Y -> ( ( F ` X ) .<_ ( F ` y ) <-> ( F ` X ) .<_ ( F ` Y ) ) )
13 10 12 bibi12d
 |-  ( y = Y -> ( ( X .<_ y <-> ( F ` X ) .<_ ( F ` y ) ) <-> ( X .<_ Y <-> ( F ` X ) .<_ ( F ` Y ) ) ) )
14 9 13 rspc2v
 |-  ( ( X e. B /\ Y e. B ) -> ( A. x e. B A. y e. B ( x .<_ y <-> ( F ` x ) .<_ ( F ` y ) ) -> ( X .<_ Y <-> ( F ` X ) .<_ ( F ` Y ) ) ) )
15 5 14 mpan9
 |-  ( ( ( K e. V /\ F e. I ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) ) -> ( X .<_ Y <-> ( F ` X ) .<_ ( F ` Y ) ) )