Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
lbsss.v |
|- V = ( Base ` W ) |
2 |
|
lbsss.j |
|- J = ( LBasis ` W ) |
3 |
|
lbssp.n |
|- N = ( LSpan ` W ) |
4 |
|
lbsind.f |
|- F = ( Scalar ` W ) |
5 |
|
lbsind.s |
|- .x. = ( .s ` W ) |
6 |
|
lbsind.k |
|- K = ( Base ` F ) |
7 |
|
lbsind.z |
|- .0. = ( 0g ` F ) |
8 |
|
eldifsn |
|- ( A e. ( K \ { .0. } ) <-> ( A e. K /\ A =/= .0. ) ) |
9 |
|
elfvdm |
|- ( B e. ( LBasis ` W ) -> W e. dom LBasis ) |
10 |
9 2
|
eleq2s |
|- ( B e. J -> W e. dom LBasis ) |
11 |
1 4 5 6 2 3 7
|
islbs |
|- ( W e. dom LBasis -> ( B e. J <-> ( B C_ V /\ ( N ` B ) = V /\ A. x e. B A. y e. ( K \ { .0. } ) -. ( y .x. x ) e. ( N ` ( B \ { x } ) ) ) ) ) |
12 |
10 11
|
syl |
|- ( B e. J -> ( B e. J <-> ( B C_ V /\ ( N ` B ) = V /\ A. x e. B A. y e. ( K \ { .0. } ) -. ( y .x. x ) e. ( N ` ( B \ { x } ) ) ) ) ) |
13 |
12
|
ibi |
|- ( B e. J -> ( B C_ V /\ ( N ` B ) = V /\ A. x e. B A. y e. ( K \ { .0. } ) -. ( y .x. x ) e. ( N ` ( B \ { x } ) ) ) ) |
14 |
13
|
simp3d |
|- ( B e. J -> A. x e. B A. y e. ( K \ { .0. } ) -. ( y .x. x ) e. ( N ` ( B \ { x } ) ) ) |
15 |
|
oveq2 |
|- ( x = E -> ( y .x. x ) = ( y .x. E ) ) |
16 |
|
sneq |
|- ( x = E -> { x } = { E } ) |
17 |
16
|
difeq2d |
|- ( x = E -> ( B \ { x } ) = ( B \ { E } ) ) |
18 |
17
|
fveq2d |
|- ( x = E -> ( N ` ( B \ { x } ) ) = ( N ` ( B \ { E } ) ) ) |
19 |
15 18
|
eleq12d |
|- ( x = E -> ( ( y .x. x ) e. ( N ` ( B \ { x } ) ) <-> ( y .x. E ) e. ( N ` ( B \ { E } ) ) ) ) |
20 |
19
|
notbid |
|- ( x = E -> ( -. ( y .x. x ) e. ( N ` ( B \ { x } ) ) <-> -. ( y .x. E ) e. ( N ` ( B \ { E } ) ) ) ) |
21 |
|
oveq1 |
|- ( y = A -> ( y .x. E ) = ( A .x. E ) ) |
22 |
21
|
eleq1d |
|- ( y = A -> ( ( y .x. E ) e. ( N ` ( B \ { E } ) ) <-> ( A .x. E ) e. ( N ` ( B \ { E } ) ) ) ) |
23 |
22
|
notbid |
|- ( y = A -> ( -. ( y .x. E ) e. ( N ` ( B \ { E } ) ) <-> -. ( A .x. E ) e. ( N ` ( B \ { E } ) ) ) ) |
24 |
20 23
|
rspc2v |
|- ( ( E e. B /\ A e. ( K \ { .0. } ) ) -> ( A. x e. B A. y e. ( K \ { .0. } ) -. ( y .x. x ) e. ( N ` ( B \ { x } ) ) -> -. ( A .x. E ) e. ( N ` ( B \ { E } ) ) ) ) |
25 |
14 24
|
syl5com |
|- ( B e. J -> ( ( E e. B /\ A e. ( K \ { .0. } ) ) -> -. ( A .x. E ) e. ( N ` ( B \ { E } ) ) ) ) |
26 |
25
|
impl |
|- ( ( ( B e. J /\ E e. B ) /\ A e. ( K \ { .0. } ) ) -> -. ( A .x. E ) e. ( N ` ( B \ { E } ) ) ) |
27 |
8 26
|
sylan2br |
|- ( ( ( B e. J /\ E e. B ) /\ ( A e. K /\ A =/= .0. ) ) -> -. ( A .x. E ) e. ( N ` ( B \ { E } ) ) ) |