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Theorem lcdfval

Description: Dual vector space of functionals with closed kernels. (Contributed by NM, 13-Mar-2015)

Ref Expression
Hypothesis lcdval.h 
|- H = ( LHyp ` K )
Assertion lcdfval 
|- ( K e. X -> ( LCDual ` K ) = ( w e. H |-> ( ( LDual ` ( ( DVecH ` K ) ` w ) ) |`s { f e. ( LFnl ` ( ( DVecH ` K ) ` w ) ) | ( ( ( ocH ` K ) ` w ) ` ( ( ( ocH ` K ) ` w ) ` ( ( LKer ` ( ( DVecH ` K ) ` w ) ) ` f ) ) ) = ( ( LKer ` ( ( DVecH ` K ) ` w ) ) ` f ) } ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 lcdval.h 
 |-  H = ( LHyp ` K )
2 elex 
 |-  ( K e. X -> K e. _V )
3 fveq2 
 |-  ( k = K -> ( LHyp ` k ) = ( LHyp ` K ) )
4 3 1 eqtr4di 
 |-  ( k = K -> ( LHyp ` k ) = H )
5 fveq2 
 |-  ( k = K -> ( DVecH ` k ) = ( DVecH ` K ) )
6 5 fveq1d 
 |-  ( k = K -> ( ( DVecH ` k ) ` w ) = ( ( DVecH ` K ) ` w ) )
7 6 fveq2d 
 |-  ( k = K -> ( LDual ` ( ( DVecH ` k ) ` w ) ) = ( LDual ` ( ( DVecH ` K ) ` w ) ) )
8 6 fveq2d 
 |-  ( k = K -> ( LFnl ` ( ( DVecH ` k ) ` w ) ) = ( LFnl ` ( ( DVecH ` K ) ` w ) ) )
9 fveq2 
 |-  ( k = K -> ( ocH ` k ) = ( ocH ` K ) )
10 9 fveq1d 
 |-  ( k = K -> ( ( ocH ` k ) ` w ) = ( ( ocH ` K ) ` w ) )
11 6 fveq2d 
 |-  ( k = K -> ( LKer ` ( ( DVecH ` k ) ` w ) ) = ( LKer ` ( ( DVecH ` K ) ` w ) ) )
12 11 fveq1d 
 |-  ( k = K -> ( ( LKer ` ( ( DVecH ` k ) ` w ) ) ` f ) = ( ( LKer ` ( ( DVecH ` K ) ` w ) ) ` f ) )
13 10 12 fveq12d 
 |-  ( k = K -> ( ( ( ocH ` k ) ` w ) ` ( ( LKer ` ( ( DVecH ` k ) ` w ) ) ` f ) ) = ( ( ( ocH ` K ) ` w ) ` ( ( LKer ` ( ( DVecH ` K ) ` w ) ) ` f ) ) )
14 10 13 fveq12d 
 |-  ( k = K -> ( ( ( ocH ` k ) ` w ) ` ( ( ( ocH ` k ) ` w ) ` ( ( LKer ` ( ( DVecH ` k ) ` w ) ) ` f ) ) ) = ( ( ( ocH ` K ) ` w ) ` ( ( ( ocH ` K ) ` w ) ` ( ( LKer ` ( ( DVecH ` K ) ` w ) ) ` f ) ) ) )
15 14 12 eqeq12d 
 |-  ( k = K -> ( ( ( ( ocH ` k ) ` w ) ` ( ( ( ocH ` k ) ` w ) ` ( ( LKer ` ( ( DVecH ` k ) ` w ) ) ` f ) ) ) = ( ( LKer ` ( ( DVecH ` k ) ` w ) ) ` f ) <-> ( ( ( ocH ` K ) ` w ) ` ( ( ( ocH ` K ) ` w ) ` ( ( LKer ` ( ( DVecH ` K ) ` w ) ) ` f ) ) ) = ( ( LKer ` ( ( DVecH ` K ) ` w ) ) ` f ) ) )
16 8 15 rabeqbidv 
 |-  ( k = K -> { f e. ( LFnl ` ( ( DVecH ` k ) ` w ) ) | ( ( ( ocH ` k ) ` w ) ` ( ( ( ocH ` k ) ` w ) ` ( ( LKer ` ( ( DVecH ` k ) ` w ) ) ` f ) ) ) = ( ( LKer ` ( ( DVecH ` k ) ` w ) ) ` f ) } = { f e. ( LFnl ` ( ( DVecH ` K ) ` w ) ) | ( ( ( ocH ` K ) ` w ) ` ( ( ( ocH ` K ) ` w ) ` ( ( LKer ` ( ( DVecH ` K ) ` w ) ) ` f ) ) ) = ( ( LKer ` ( ( DVecH ` K ) ` w ) ) ` f ) } )
17 7 16 oveq12d 
 |-  ( k = K -> ( ( LDual ` ( ( DVecH ` k ) ` w ) ) |`s { f e. ( LFnl ` ( ( DVecH ` k ) ` w ) ) | ( ( ( ocH ` k ) ` w ) ` ( ( ( ocH ` k ) ` w ) ` ( ( LKer ` ( ( DVecH ` k ) ` w ) ) ` f ) ) ) = ( ( LKer ` ( ( DVecH ` k ) ` w ) ) ` f ) } ) = ( ( LDual ` ( ( DVecH ` K ) ` w ) ) |`s { f e. ( LFnl ` ( ( DVecH ` K ) ` w ) ) | ( ( ( ocH ` K ) ` w ) ` ( ( ( ocH ` K ) ` w ) ` ( ( LKer ` ( ( DVecH ` K ) ` w ) ) ` f ) ) ) = ( ( LKer ` ( ( DVecH ` K ) ` w ) ) ` f ) } ) )
18 4 17 mpteq12dv 
 |-  ( k = K -> ( w e. ( LHyp ` k ) |-> ( ( LDual ` ( ( DVecH ` k ) ` w ) ) |`s { f e. ( LFnl ` ( ( DVecH ` k ) ` w ) ) | ( ( ( ocH ` k ) ` w ) ` ( ( ( ocH ` k ) ` w ) ` ( ( LKer ` ( ( DVecH ` k ) ` w ) ) ` f ) ) ) = ( ( LKer ` ( ( DVecH ` k ) ` w ) ) ` f ) } ) ) = ( w e. H |-> ( ( LDual ` ( ( DVecH ` K ) ` w ) ) |`s { f e. ( LFnl ` ( ( DVecH ` K ) ` w ) ) | ( ( ( ocH ` K ) ` w ) ` ( ( ( ocH ` K ) ` w ) ` ( ( LKer ` ( ( DVecH ` K ) ` w ) ) ` f ) ) ) = ( ( LKer ` ( ( DVecH ` K ) ` w ) ) ` f ) } ) ) )
19 df-lcdual 
 |-  LCDual = ( k e. _V |-> ( w e. ( LHyp ` k ) |-> ( ( LDual ` ( ( DVecH ` k ) ` w ) ) |`s { f e. ( LFnl ` ( ( DVecH ` k ) ` w ) ) | ( ( ( ocH ` k ) ` w ) ` ( ( ( ocH ` k ) ` w ) ` ( ( LKer ` ( ( DVecH ` k ) ` w ) ) ` f ) ) ) = ( ( LKer ` ( ( DVecH ` k ) ` w ) ) ` f ) } ) ) )
20 18 19 1 mptfvmpt 
 |-  ( K e. _V -> ( LCDual ` K ) = ( w e. H |-> ( ( LDual ` ( ( DVecH ` K ) ` w ) ) |`s { f e. ( LFnl ` ( ( DVecH ` K ) ` w ) ) | ( ( ( ocH ` K ) ` w ) ` ( ( ( ocH ` K ) ` w ) ` ( ( LKer ` ( ( DVecH ` K ) ` w ) ) ` f ) ) ) = ( ( LKer ` ( ( DVecH ` K ) ` w ) ) ` f ) } ) ) )
21 2 20 syl 
 |-  ( K e. X -> ( LCDual ` K ) = ( w e. H |-> ( ( LDual ` ( ( DVecH ` K ) ` w ) ) |`s { f e. ( LFnl ` ( ( DVecH ` K ) ` w ) ) | ( ( ( ocH ` K ) ` w ) ` ( ( ( ocH ` K ) ` w ) ` ( ( LKer ` ( ( DVecH ` K ) ` w ) ) ` f ) ) ) = ( ( LKer ` ( ( DVecH ` K ) ` w ) ) ` f ) } ) ) )