Theorem lcdfval

Description: Dual vector space of functionals with closed kernels. (Contributed by NM, 13-Mar-2015)

	Ref	Expression
Hypothesis	lcdval.h	⊢ 𝐻 = ( LHyp ‘ 𝐾 )
Assertion	lcdfval	⊢ ( 𝐾 ∈ 𝑋 → ( LCDual ‘ 𝐾 ) = ( 𝑤 ∈ 𝐻 ↦ ( ( LDual ‘ ( ( DVecH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ) ↾s { 𝑓 ∈ ( LFnl ‘ ( ( DVecH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ) ∣ ( ( ( ocH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ‘ ( ( ( ocH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ‘ ( ( LKer ‘ ( ( DVecH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ) ‘ 𝑓 ) ) ) = ( ( LKer ‘ ( ( DVecH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ) ‘ 𝑓 ) } ) ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lcdval.h	⊢ 𝐻 = ( LHyp ‘ 𝐾 )
2		elex	⊢ ( 𝐾 ∈ 𝑋 → 𝐾 ∈ V )
3		fveq2	⊢ ( 𝑘 = 𝐾 → ( LHyp ‘ 𝑘 ) = ( LHyp ‘ 𝐾 ) )
4	3 1	eqtr4di	⊢ ( 𝑘 = 𝐾 → ( LHyp ‘ 𝑘 ) = 𝐻 )
5		fveq2	⊢ ( 𝑘 = 𝐾 → ( DVecH ‘ 𝑘 ) = ( DVecH ‘ 𝐾 ) )
6	5	fveq1d	⊢ ( 𝑘 = 𝐾 → ( ( DVecH ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑤 ) = ( ( DVecH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) )
7	6	fveq2d	⊢ ( 𝑘 = 𝐾 → ( LDual ‘ ( ( DVecH ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑤 ) ) = ( LDual ‘ ( ( DVecH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ) )
8	6	fveq2d	⊢ ( 𝑘 = 𝐾 → ( LFnl ‘ ( ( DVecH ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑤 ) ) = ( LFnl ‘ ( ( DVecH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ) )
9		fveq2	⊢ ( 𝑘 = 𝐾 → ( ocH ‘ 𝑘 ) = ( ocH ‘ 𝐾 ) )
10	9	fveq1d	⊢ ( 𝑘 = 𝐾 → ( ( ocH ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑤 ) = ( ( ocH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) )
11	6	fveq2d	⊢ ( 𝑘 = 𝐾 → ( LKer ‘ ( ( DVecH ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑤 ) ) = ( LKer ‘ ( ( DVecH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ) )
12	11	fveq1d	⊢ ( 𝑘 = 𝐾 → ( ( LKer ‘ ( ( DVecH ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑤 ) ) ‘ 𝑓 ) = ( ( LKer ‘ ( ( DVecH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ) ‘ 𝑓 ) )
13	10 12	fveq12d	⊢ ( 𝑘 = 𝐾 → ( ( ( ocH ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑤 ) ‘ ( ( LKer ‘ ( ( DVecH ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑤 ) ) ‘ 𝑓 ) ) = ( ( ( ocH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ‘ ( ( LKer ‘ ( ( DVecH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ) ‘ 𝑓 ) ) )
14	10 13	fveq12d	⊢ ( 𝑘 = 𝐾 → ( ( ( ocH ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑤 ) ‘ ( ( ( ocH ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑤 ) ‘ ( ( LKer ‘ ( ( DVecH ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑤 ) ) ‘ 𝑓 ) ) ) = ( ( ( ocH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ‘ ( ( ( ocH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ‘ ( ( LKer ‘ ( ( DVecH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ) ‘ 𝑓 ) ) ) )
15	14 12	eqeq12d	⊢ ( 𝑘 = 𝐾 → ( ( ( ( ocH ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑤 ) ‘ ( ( ( ocH ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑤 ) ‘ ( ( LKer ‘ ( ( DVecH ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑤 ) ) ‘ 𝑓 ) ) ) = ( ( LKer ‘ ( ( DVecH ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑤 ) ) ‘ 𝑓 ) ↔ ( ( ( ocH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ‘ ( ( ( ocH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ‘ ( ( LKer ‘ ( ( DVecH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ) ‘ 𝑓 ) ) ) = ( ( LKer ‘ ( ( DVecH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ) ‘ 𝑓 ) ) )
16	8 15	rabeqbidv	⊢ ( 𝑘 = 𝐾 → { 𝑓 ∈ ( LFnl ‘ ( ( DVecH ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑤 ) ) ∣ ( ( ( ocH ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑤 ) ‘ ( ( ( ocH ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑤 ) ‘ ( ( LKer ‘ ( ( DVecH ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑤 ) ) ‘ 𝑓 ) ) ) = ( ( LKer ‘ ( ( DVecH ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑤 ) ) ‘ 𝑓 ) } = { 𝑓 ∈ ( LFnl ‘ ( ( DVecH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ) ∣ ( ( ( ocH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ‘ ( ( ( ocH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ‘ ( ( LKer ‘ ( ( DVecH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ) ‘ 𝑓 ) ) ) = ( ( LKer ‘ ( ( DVecH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ) ‘ 𝑓 ) } )
17	7 16	oveq12d	⊢ ( 𝑘 = 𝐾 → ( ( LDual ‘ ( ( DVecH ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑤 ) ) ↾s { 𝑓 ∈ ( LFnl ‘ ( ( DVecH ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑤 ) ) ∣ ( ( ( ocH ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑤 ) ‘ ( ( ( ocH ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑤 ) ‘ ( ( LKer ‘ ( ( DVecH ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑤 ) ) ‘ 𝑓 ) ) ) = ( ( LKer ‘ ( ( DVecH ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑤 ) ) ‘ 𝑓 ) } ) = ( ( LDual ‘ ( ( DVecH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ) ↾s { 𝑓 ∈ ( LFnl ‘ ( ( DVecH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ) ∣ ( ( ( ocH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ‘ ( ( ( ocH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ‘ ( ( LKer ‘ ( ( DVecH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ) ‘ 𝑓 ) ) ) = ( ( LKer ‘ ( ( DVecH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ) ‘ 𝑓 ) } ) )
18	4 17	mpteq12dv	⊢ ( 𝑘 = 𝐾 → ( 𝑤 ∈ ( LHyp ‘ 𝑘 ) ↦ ( ( LDual ‘ ( ( DVecH ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑤 ) ) ↾s { 𝑓 ∈ ( LFnl ‘ ( ( DVecH ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑤 ) ) ∣ ( ( ( ocH ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑤 ) ‘ ( ( ( ocH ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑤 ) ‘ ( ( LKer ‘ ( ( DVecH ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑤 ) ) ‘ 𝑓 ) ) ) = ( ( LKer ‘ ( ( DVecH ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑤 ) ) ‘ 𝑓 ) } ) ) = ( 𝑤 ∈ 𝐻 ↦ ( ( LDual ‘ ( ( DVecH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ) ↾s { 𝑓 ∈ ( LFnl ‘ ( ( DVecH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ) ∣ ( ( ( ocH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ‘ ( ( ( ocH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ‘ ( ( LKer ‘ ( ( DVecH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ) ‘ 𝑓 ) ) ) = ( ( LKer ‘ ( ( DVecH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ) ‘ 𝑓 ) } ) ) )
19		df-lcdual	⊢ LCDual = ( 𝑘 ∈ V ↦ ( 𝑤 ∈ ( LHyp ‘ 𝑘 ) ↦ ( ( LDual ‘ ( ( DVecH ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑤 ) ) ↾s { 𝑓 ∈ ( LFnl ‘ ( ( DVecH ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑤 ) ) ∣ ( ( ( ocH ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑤 ) ‘ ( ( ( ocH ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑤 ) ‘ ( ( LKer ‘ ( ( DVecH ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑤 ) ) ‘ 𝑓 ) ) ) = ( ( LKer ‘ ( ( DVecH ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑤 ) ) ‘ 𝑓 ) } ) ) )
20	18 19 1	mptfvmpt	⊢ ( 𝐾 ∈ V → ( LCDual ‘ 𝐾 ) = ( 𝑤 ∈ 𝐻 ↦ ( ( LDual ‘ ( ( DVecH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ) ↾s { 𝑓 ∈ ( LFnl ‘ ( ( DVecH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ) ∣ ( ( ( ocH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ‘ ( ( ( ocH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ‘ ( ( LKer ‘ ( ( DVecH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ) ‘ 𝑓 ) ) ) = ( ( LKer ‘ ( ( DVecH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ) ‘ 𝑓 ) } ) ) )
21	2 20	syl	⊢ ( 𝐾 ∈ 𝑋 → ( LCDual ‘ 𝐾 ) = ( 𝑤 ∈ 𝐻 ↦ ( ( LDual ‘ ( ( DVecH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ) ↾s { 𝑓 ∈ ( LFnl ‘ ( ( DVecH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ) ∣ ( ( ( ocH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ‘ ( ( ( ocH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ‘ ( ( LKer ‘ ( ( DVecH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ) ‘ 𝑓 ) ) ) = ( ( LKer ‘ ( ( DVecH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ) ‘ 𝑓 ) } ) ) )