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Theorem le2sq2

Description: The square of a 'less than or equal to' ordering. (Contributed by NM, 21-Mar-2008)

Ref Expression
Assertion le2sq2 
|- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ A <_ B ) ) -> ( A ^ 2 ) <_ ( B ^ 2 ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 simprr 
 |-  ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ A <_ B ) ) -> A <_ B )
2 simprl 
 |-  ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ A <_ B ) ) -> B e. RR )
3 0re 
 |-  0 e. RR
4 letr 
 |-  ( ( 0 e. RR /\ A e. RR /\ B e. RR ) -> ( ( 0 <_ A /\ A <_ B ) -> 0 <_ B ) )
5 3 4 mp3an1 
 |-  ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( ( 0 <_ A /\ A <_ B ) -> 0 <_ B ) )
6 5 exp4b 
 |-  ( A e. RR -> ( B e. RR -> ( 0 <_ A -> ( A <_ B -> 0 <_ B ) ) ) )
7 6 com23 
 |-  ( A e. RR -> ( 0 <_ A -> ( B e. RR -> ( A <_ B -> 0 <_ B ) ) ) )
8 7 imp43 
 |-  ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ A <_ B ) ) -> 0 <_ B )
9 2 8 jca 
 |-  ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ A <_ B ) ) -> ( B e. RR /\ 0 <_ B ) )
10 le2sq 
 |-  ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) -> ( A <_ B <-> ( A ^ 2 ) <_ ( B ^ 2 ) ) )
11 9 10 syldan 
 |-  ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ A <_ B ) ) -> ( A <_ B <-> ( A ^ 2 ) <_ ( B ^ 2 ) ) )
12 1 11 mpbid 
 |-  ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ A <_ B ) ) -> ( A ^ 2 ) <_ ( B ^ 2 ) )